Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-16}{x+3}}$

a) Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (4 puntos)

b) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en su dominio. (6 puntos)

Es una función cociente de dos polinomios; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x+3=0\Rightarrow x=-3$

$\text{Dom }f(x)=\mathbb{R}-\{-3\}$

Asíntota vertical: se estudia el límite en el punto excluido del dominio.

${\lim }_{x\to -3}f(x)={\lim }_{x\to -3}{\displaystyle \frac{2x^2-16}{x+3}}={\displaystyle \frac{2\cdot 9-16}{0}}={\displaystyle \frac{2}{0}}=\mathrm{\infty }$

La recta $x=-3$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: el grado del numerador es mayor que el del denominador, así que

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2-16}{x+3}}=\pm \mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal. Como el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2-16}{x^2+3x}}=2$

$n={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}(f(x)-2x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2-16-2x(x+3)}{x+3}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-6x-16}{x+3}}=-6$

La asíntota oblicua es $y=2x-6$.

El dominio es $\mathbb{R}-\{-3\}$, hay una asíntota vertical en $x=-3$, no hay asíntota horizontal y la asíntota oblicua es $y=2x-6$.



Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente y se iguala a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x(x+3)-(2x^2-16)\cdot 1}{(x+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{4x^2+12x-2x^2+16}{(x+3{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^2+12x+16}{(x+3{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x^2+12x+16=0\Rightarrow x^2+6x+8=0$

$x={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2}}={\displaystyle \frac{-6\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-4\\ x=-2\end{array}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador $2(x+2)(x+4)$. Se estudia el signo teniendo en cuenta que $x=-3$ no pertenece al dominio.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=-5,2(-3)(-1)=6>0\\ \text{Si }x=-\mathrm{3,5},2(-\mathrm{1,5})(\mathrm{0,5})=-\mathrm{1,5}<0\\ \text{Si }x=-\mathrm{2,5},2(-\mathrm{0,5})(\mathrm{1,5})=-\mathrm{1,5}<0\\ \text{Si }x=0,2\cdot 2\cdot 4=16>0\end{array}$



En $x=-4$ la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo. En $x=-2$ pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo. En $x=-3$ no hay extremo porque el punto no pertenece al dominio; es la asíntota vertical.

Se calculan las ordenadas:

$f(-4)={\displaystyle \frac{2\cdot 16-16}{-4+3}}={\displaystyle \frac{16}{-1}}=-16$

$f(-2)={\displaystyle \frac{2\cdot 4-16}{-2+3}}={\displaystyle \frac{-8}{1}}=-8$

La función presenta un máximo relativo en $(-4,-16)$ y un mínimo relativo en $(-2,-8)$. El valor del máximo relativo es menor que el del mínimo relativo, lo que no supone contradicción alguna: la asíntota vertical $x=-3$ separa las dos ramas de la gráfica y cada extremo lo es solo dentro de su propia rama.