Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+4x+2}{x-2}}$: [2,5 puntos]

a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Identifique las asíntotas de la función. [1 punto]

c) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio de la función lo forman todos los números reales salvo el que anula el denominador, es decir, $\text{Dom }f=\mathbb{R}-\{2\}$.

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{2\cdot 0^2+4\cdot 0+2}{0-2}}={\displaystyle \frac{2}{-2}}=-1\Rightarrow (0,-1)$

Para el corte con el eje OX se anula el numerador, comprobando después que el denominador no se anula a la vez.

$2x^2+4x+2=0\Rightarrow x^2+2x+1=0\Rightarrow (x+1{)}^2=0\Rightarrow x=-1$

La gráfica corta al eje OY en $(0,-1)$ y al eje OX en $(-1,0)$, donde además la raíz es doble y la curva toca el eje sin atravesarlo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Identifique}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Asíntotas verticales: se buscan en los puntos que anulan el denominador sin anular el numerador.

${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{2x^2+4x+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{18}{0}}=\mathrm{\infty }$

La recta $x=2$ es asíntota vertical. Además:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Asíntota horizontal: no hay, porque el grado del numerador supera en una unidad al del denominador.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+4x+2}{x-2}}=\pm \mathrm{\infty }$

Precisamente por esa diferencia de grados existe asíntota oblicua, que se obtiene efectuando la división.

$2x^2+4x+2=(x-2)(2x+8)+18$

$f(x)=2x+8+{\displaystyle \frac{18}{x-2}}$

Como el resto tiende a cero cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$, la recta $y=2x+8$ es asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=2$, y una asíntota oblicua, $y=2x+8$; no tiene asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva la función aplicando la regla del cociente y se anula la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(4x+4)(x-2)-(2x^2+4x+2)}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x^2-4x-8-2x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-8x-10}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-5)(x+1)}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow (x-5)(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=5\\ x=-1\end{array}$

Como el denominador es un cuadrado, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el del numerador. Se estudia ese signo antes, entre y después de los puntos críticos, sin olvidar que $x=2$ no pertenece al dominio.

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{2(-7)(-1)}{16}}>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2(-5)(1)}{4}}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(6)={\displaystyle \frac{2(1)(7)}{16}}>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (5,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,2)\cup (2,5)$.

En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo en $(-1,0)$; en $x=5$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(5,24)$, porque $f(5)={\displaystyle \frac{50+20+2}{3}}=24$.