Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere la función $f(x)=-x^2+2x+3$.

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$, el eje OX y las rectas $x=-2$ y $x=2$. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}(1\text{ punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$f(0)=-0+0+3=3\Rightarrow (0,3)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $f(x)=0$.

$-x^2+2x+3=0\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$

Los puntos de corte son $(0,3)$ con el eje de ordenadas y $(-1,0)$ y $(3,0)$ con el eje de abscisas.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(3\text{ puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+2=0\Rightarrow x=1$

Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2>0$, la función crece.

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2<0$, la función decrece.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },1)$ y decrece en $(1,+\mathrm{\infty })$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=1$ hay un máximo relativo. Su ordenada es

$f(1)=-1+2+3=4$

El máximo relativo está en el punto $(1,4)$, que es el vértice de la parábola. No hay mínimos relativos.



Con los cortes y el vértice ya calculados se dibuja la parábola, que tiene las ramas hacia abajo, y se marcan las dos rectas verticales. El recinto queda partido en dos trozos por el corte $x=-1$: entre $x=-2$ y $x=-1$ la curva va por debajo del eje $OX$ y entre $x=-1$ y $x=2$ va por encima.



$\mathbf{\text{iv)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}(4\text{ puntos})$

Como la función cambia de signo dentro del intervalo, hay que calcular las dos integrales por separado y sumar sus valores absolutos.

Una primitiva de la función es

$F(x)=\int (-x^2+2x+3)dx=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x$

Primer trozo, donde la función es negativa:

${\int }_{-2}^{-1}(-x^2+2x+3)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x]}_{-2}^{-1}$

$=({\displaystyle \frac{1}{3}}+1-3)-({\displaystyle \frac{8}{3}}+4-6)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$

Segundo trozo, donde la función es positiva:

${\int }_{-1}^2(-x^2+2x+3)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x]}_{-1}^2$

$=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+4+6)-({\displaystyle \frac{1}{3}}+1-3)={\displaystyle \frac{22}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{27}{3}}=9$

El área es la suma de los valores absolutos:

$A=\mid -{\displaystyle \frac{7}{3}}\mid +9={\displaystyle \frac{7}{3}}+9={\displaystyle \frac{34}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{34}{3}}\approx \mathrm{11,33}$ unidades de área.