Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

i) Calcule el valor de los parámetros de la función $f(x)=-x^3+a{x}^2+bx+c$, sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y un punto de inflexión en el punto $x=1\mathrm{/}3$. (5 puntos)

ii) Calcule las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-2}}$ (5 puntos)

Cada condición del enunciado da una ecuación: el punto pertenece a la gráfica, la derivada se anula en él y la segunda derivada se anula en el punto de inflexión.

Se calculan las dos primeras derivadas:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+2ax+b$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+2a$

Punto de inflexión en $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0\Rightarrow -2+2a=0\Rightarrow a=1$

Extremo relativo en $x=-1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0\Rightarrow -3-2a+b=0\Rightarrow b=3+2a=5$

La gráfica pasa por $(-1,0)$:

$f(-1)=0\Rightarrow 1+a-b+c=0\Rightarrow 1+1-5+c=0\Rightarrow c=3$

Los parámetros son $a=1$, $b=5$ y $c=3$, de modo que la función es

$f(x)=-x^3+x^2+5x+3$



Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$x-2=0\Rightarrow x=2$

El numerador en ese punto vale $3\cdot 4+1=13\mathrm{\ne }0$, así que sí hay asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-2}}={\displaystyle \frac{13}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-2}}={\displaystyle \frac{13}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-2}}=\pm \mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal, pero como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador sí puede haber asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{x^2-2x}}=3$

$n={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}(f(x)-3x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2+1-3x(x-2)}{x-2}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{6x+1}{x-2}}=6$

La recta $y=3x+6$ es asíntota oblicua.