Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3x+4}{x}}$

i) Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

ii) Calcule ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$ (4 puntos)

iii) Calcule la derivada de la función $g(x)$, siendo $g(x)=f(x)+\ln (5x-3{)}^2+x{e}^{3x}$ (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos.}}(3\text{ puntos})$

Antes de derivar conviene dividir término a término entre $x$:

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x}}+{\displaystyle \frac{3x}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}=x+3+{\displaystyle \frac{4}{x}}$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{4}{x^2}}\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

Se recurre a la segunda derivada para clasificarlos:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{8}{x^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{8}{8}}=1>0\Rightarrow$ mínimo relativo en $x=2$.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{8}{-8}}=-1<0\Rightarrow$ máximo relativo en $x=-2$.



Se calculan las ordenadas:

$f(2)=2+3+{\displaystyle \frac{4}{2}}=7$

$f(-2)=-2+3+{\displaystyle \frac{4}{-2}}=-1$

La función presenta un mínimo relativo en $(2,7)$ y un máximo relativo en $(-2,-1)$.



Se integra la función ya descompuesta:

$\int (x+3+{\displaystyle \frac{4}{x}})dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x+4\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^{2}f(x)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x+4\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_1^2$

$=(2+6+4\ln 2)-({\displaystyle \frac{1}{2}}+3+4\ln 1)$

$=8+4\ln 2-{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}+4\ln 2\approx \mathrm{7,27}$



Se deriva sumando por sumando.

El primero es la función del apartado i):

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

En el segundo se aplica primero la propiedad del logaritmo de una potencia, $\ln u^2=2\ln \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$:

${(\ln (5x-3{)}^2)}^{\mathrm{\prime }}={(2\ln \mathrm{\mid }5x-3\mathrm{\mid })}^{\mathrm{\prime }}=2\cdot {\displaystyle \frac{5}{5x-3}}={\displaystyle \frac{10}{5x-3}}$

El tercero es un producto:

${\left(x{e}^{3x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^{3x}+x\cdot 3e^{3x}=e^{3x}(1+3x)$

Sumando los tres resultados:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{10}{5x-3}}+e^{3x}(1+3x)$