Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-2& \text{si }x\le 3\\ (x-4{)}^2-1& \text{si }x>3\end{array}$

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $(3,\mathrm{\infty })$. (1.5 puntos)

En el intervalo $(3,+\mathrm{\infty })$ la función es el segundo trozo:

$f(x)=(x-4{)}^2-1$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada, así que se deriva y se iguala a cero para localizar los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-4)=2x-8$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x-8=0\Rightarrow x=4$

El punto crítico $x=4$ parte el intervalo en $(3,4)$ y $(4,+\mathrm{\infty })$. Se toma un valor de prueba en cada uno.

En $(3,4)$ se toma $x=\mathrm{3,5}$: $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{3,5})=2\cdot \mathrm{3,5}-8=-1<0$, la función decrece.

En $(4,+\mathrm{\infty })$ se toma $x=5$: $f^{\mathrm{\prime }}(5)=2\cdot 5-8=2>0$, la función crece.



Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $x=4$ hay un mínimo relativo, cuyo valor es

$f(4)=(4-4{)}^2-1=-1$

La función decrece en $(3,4)$ y crece en $(4,+\mathrm{\infty })$, con un mínimo relativo en el punto $(4,-1)$.