Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

¿Cuál es el dominio de definición de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x(x^2-1)}}$? Justificar la respuesta. (1 punto)

El dominio de definición de una función racional lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador, porque la división entre cero no está definida.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x(x^2-1)}}$

Se iguala el denominador a cero:

$x(x^2-1)=0$

Un producto es nulo cuando lo es alguno de sus factores:

$x=0\text{o}{x}^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Los tres valores que hay que excluir son $x=-1$, $x=0$ y $x=1$.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-1,0,1\}$

Conviene advertir que aunque la fracción se simplifique,

${\displaystyle \frac{x^3}{x(x^2-1)}}={\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}}\text{para }x\mathrm{\ne }0$

el valor $x=0$ sigue fuera del dominio: la simplificación solo es válida donde la expresión original está definida, y en $x=0$ la función de partida no lo está.