Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 4.

Una máquina está productiva durante un año desde su compra. Se sabe que el rendimiento (en porcentaje) que tiene la máquina $x$ meses después de su compra viene dado por la función
$f(x)=\frac{1}{10}(800+15x+6x^2-x^3)$
para cualquier $x$ entre 0 y 12.

a) ¿Es el rendimiento que tiene la máquina un mes después de su compra superior al rendimiento que tiene dos meses después de su compra? (2 puntos)
b) ¿Tras cuántos meses después de su compra alcanza la máquina su mayor rendimiento?; ¿cuál es dicho rendimiento máximo? (4 puntos)
c) A lo largo del año, ¿tiene en algún momento la máquina un rendimiento inferior al 10%? (4 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{4.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{productiva}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compra.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{porcentaje)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathit{x}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{viene}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$


$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compra?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Comparamos $f(1)$ y $f(2)$: $\{\begin{array}{l}f(1)=\frac{1}{10}(800+15+6-1^3)=82\\ \\ f(2)=\frac{1}{10}(800+30+24-2^3)=84.6\end{array}$

Por tanto: $f(1)=82<84.6=f(2)$

Es falso que el rendimiento sea mayor tras 2 meses.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Tras}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{rendimiento?;}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función y buscamos cuándo se anula la derivada: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{10}(15+12x-3x^2)$

Igualamos a cero: $15+12x-3x^2=0\Rightarrow x^2-4x-5=0$

Resolviendo: $x=\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2+20}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}\Rightarrow x=-1,;5$

En el intervalo $[0,12]$ solo es válido: $x=5$

Calculamos la segunda derivada: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{10}(12-6x)$

Evaluamos en $x=5$: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)=\frac{1}{10}(12-30)=-1.8<0\Rightarrow x=5\text{ es m}\acute{\text{a}}\text{ximo local}$

Valoramos la función en los extremos del intervalo y en el máximo relativo: $\{\begin{array}{l}f(0)=\frac{1}{10}(800)=80\\ \\ f(5)=\frac{1}{10}(800+15\cdot 5+6\cdot 5^2-5^3)=90\\ \\ f(12)=\frac{1}{10}(800+15\cdot 12+6\cdot {12}^2-{12}^3)=11.6\end{array}$

Por tanto: $x=5\text{ es m}\acute{\text{a}}\text{ximo absoluto en }[0,12]$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{¿tiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{10\%?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El valor mínimo absoluto de la función se produce en el mes 12 y es del $11.6$. Esto significa que la función se mantiene siempre por encima de este valor a lo largo del año.