Matemáticas CCSS · Funciones · Comunidad Valenciana · 2023

Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 4.

El consumo de energía (en MWh) en una empresa metalúrgica a las x horas de un día viene dado por la siguiente función:

f(x)={2x+14,si x∈[0,6]−x2+24x−82,si x∈]6,18]−x+34,si x∈]18,24]

a) Estudia la continuidad de esta función en el intervalo [0,24]. (3 puntos)
b) Determina a qué horas del día el consumo alcanza sus valores máximo y mínimo. ¿Cuáles son dichos valores? (4 puntos)
c) Planteando la integral adecuada, calcula el consumo que se realiza entre las 8 de la mañana y las 10 de la mañana. (3 puntos)

Solución

Problema 4. El consumo de energıˊa (en MWh) en una empresa metaluˊrgica a las x horas de un dıˊa viene dado por la siguiente funcioˊn:

f(x)={2x+14,si x∈[0,6]−x2+24x−82,si x∈]6,18]−x+34,si x∈]18,24]

a) Estudia la continuidad de esta funcioˊn en el intervalo [0,24]. (3 puntos)

f(x)={2x+14x∈[0,6]−x2+24x−82x∈]6,18]−x+34x∈]18,24]

Las funciones que definen a f(x) son funciones polinómicas y, por tanto, continuas. Las únicas posibles discontinuidades estarán en los puntos de encuentro.

En x=6:

{f(6)=2⋅6+14=26lim⁡x→6−f(x)=lim⁡x→6−(2x+14)=26,lim⁡x→6+f(x)=lim⁡x→6+(−x2+24x−82)=26⇒lim⁡x→6f(x)=26⇒Como f(6)=lim⁡x→6f(x)⇒f(x) es continua en x=6

En x=18:

{f(18)=−182+24⋅18−82=26lim⁡x→18−f(x)=lim⁡x→18−(−x2+24x−82)=26,lim⁡x→18+f(x)=lim⁡x→18+(−x+34)=16⇒∄lim⁡x→18f(x)

f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en x=18⇒f(x) es continua en [0,24]−(18)

b) Determina a queˊ horas del dıˊa el consumo alcanza sus valores maˊximo y mıˊnimo. ¿Cuaˊles son dichos valores? (4 puntos)

Realizamos las derivadas en cada intervalo y lo igualamos a 0

#x27; in math mode at position 251: …eq0 \end{cases}$̲ltx" style="color:#cc0000">\begin{cases} 0\le x\le6\Rightarrow f(x)=2x+14\qquad f'(x)=2\Rightarrow f'(x)\neq0 \\ 6<x\le18\Rightarrow f(x)=-x^2+24x-82\qquad f'(x)=-2x+24; f'(x)=0\Rightarrow x=12 \\18<x\le24\Rightarrow f(x)=-x+34\qquad f'(x)=-1\Rightarrow f'(x)\neq0 \end{cases}$ltx

Calculamos los extremos absolutos en [0,24]:

f(0)=14;f(6)=26;f(12)=62;f(18)=26;f(24)=10

El consumo máximo de 62 MWh se produce a las 12 horas y el mínimo de 10 MWh se produce a las 24 horas.

c) Planteando la integral adecuada, calcula el consumo que se realiza entre las 8 de la man˜ana y las 10 de la man˜ana. (3 puntos)

∫810f(x)dx=∫810(−x2+24x−82)dx=[−x33+12x2−82x]810=105.33 MWh


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