Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 3.

Se considera la función $f(x)=\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}$. Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$f(x)=\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dominio:

$(3x^2-1{)}^2=0\Rightarrow 3x^2-1=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}\\ x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Puntos de corte con el eje $X$:

$f(x)\mathrm{\ne }0\mathrm{\forall }x\in \text{Dom}(f(x))\Rightarrow$ no corta al eje $X$.

Puntos de corte con el eje $Y$:

$x=0\Rightarrow f(0)=\frac{1}{(3\cdot 0^2-1{)}^2}=1\Rightarrow P=(0,1)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntotas verticales:

${\displaystyle \underset{x\to \frac{-\sqrt{3}}{3}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\frac{1}{0}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{x\to {\frac{-\sqrt{3}}{3}}^{-}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\mathrm{\infty },}\\ {\displaystyle \underset{x\to {\frac{-\sqrt{3}}{3}}^{+}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}}\end{array}}$

Por lo tanto, $x=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ es una asíntota vertical.

${\displaystyle \underset{x\to \frac{\sqrt{3}}{3}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\frac{1}{0}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{x\to {\frac{\sqrt{3}}{3}}^{-}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\mathrm{\infty },}\\ {\displaystyle \underset{x\to {\frac{\sqrt{3}}{3}}^{+}}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}}\end{array}}$

Por lo tanto, $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ es una asíntota vertical.

Asíntotas horizontales:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=0}\\ {\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{(3x^2-1{)}^2}=0}\end{array}$

$y=0$ es una asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se procederá a realizar ambos apartados simultáneamente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \frac{-1\cdot 2\cdot (3x^2-1)\cdot 6x}{(3x^2-1{)}^4}=\frac{-12x}{(3x^2-1{)}^3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ solo es igual a 0 cuando el numerador es igual a cero, es decir: $-12x=0\Rightarrow x=0$











Crece: $(-\mathrm{\infty },-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup (0,\frac{\sqrt{3}}{3})$
Decrece: $(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)\cup (\frac{\sqrt{3}}{3},+\mathrm{\infty })$
Mínimo relativo: $(0,f(0))\to \text{Min}(0,1)$





$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$