Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

B.2. ( 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2-3}{x^2-5}}\mathrm{.}$

a) Calcule el valor del parámetro $a\in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ tenga una asíntota horizontal en $y=-1.$
b) Para $a=1,$ halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y los extremos relativos, si existen.

La asíntota horizontal es el límite de la función en el infinito. Como numerador y denominador tienen el mismo grado, ese límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a{x}^2-3}{x^2-5}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}}}={\displaystyle \frac{a}{1}}=a$

$a=-1$

La función tiene la asíntota horizontal $y=-1$ únicamente para $a=-1$.



El signo de la derivada primera decide la monotonía, pero antes hay que excluir del estudio los puntos que no pertenecen al dominio.

$x^2-5=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-\sqrt{5},\sqrt{5}\}$

Derivamos el cociente y simplificamos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-5)-(x^2-3)2x}{(x^2-5{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x[(x^2-5)-(x^2-3)]}{(x^2-5{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-4x}{(x^2-5{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -4x=0\Rightarrow x=0$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el del numerador $-4x$. Se hace un estudio de signos incluyendo los dos polos.

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },-\sqrt{5})& (-\sqrt{5},0)& (0,\sqrt{5})& (\sqrt{5},+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& +& -& -\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{5})\cup (-\sqrt{5},0)$ y decrece en $(0,\sqrt{5})\cup (\sqrt{5},+\mathrm{\infty })$.

En $x=0$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo. Los puntos $x=\pm \sqrt{5}$ no son extremos porque no pertenecen al dominio.

$f(0)={\displaystyle \frac{0-3}{0-5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(0,{\displaystyle \frac{3}{5}})$ y no tiene mínimos relativos.