Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

A. 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3+4}{x^2-1}}$

a) Determine el dominio de $f(x)$ y calcule sus asíntotas.
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$.

El dominio lo forman todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-1,1\}$

En esos dos puntos el numerador no se anula, así que el cociente se dispara.

${\lim }_{x\to -1}{\displaystyle \frac{x^3+4}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{3}{0}}=\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^3+4}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{5}{0}}=\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, de modo que no hay asíntota horizontal pero sí oblicua.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+4}{x(x^2-1)}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+4}{x^3-x}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^3+4}{x^2-1}}-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x+4}{x^2-1}}=0$

La función tiene las asíntotas verticales $x=\pm 1$ y la asíntota oblicua $y=x$ por ambos lados.



Necesitamos el valor de la función y el de su derivada en el origen.

$f(0)={\displaystyle \frac{0+4}{0-1}}=-4$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2(x^2-1)-(x^3+4)2x}{(x^2-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^4-3x^2-8x}{(x^2-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

La pendiente es nula, así que la tangente es una recta horizontal.

$y-(-4)=0\cdot (x-0)\Rightarrow y=-4$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es la horizontal $y=-4$.