Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

2. (2 puntos)

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+x-2$

a) Obtenga la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0,2)$.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

La función es una primitiva de la derivada que da el enunciado, así que integramos término a término.

$f(x)=\int (x^2+x-2)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x+C$

Que la gráfica pase por $(0,2)$ significa que $f(0)=2$, condición que fija la constante de integración.

$f(0)=0+0-0+C=2\Rightarrow C=2$

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x+2$



El signo de la derivada decide la monotonía, y sus ceros son los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$

$x=-2,x=1$

Se hace un estudio de signos tomando un punto de cada tramo.

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-3)=9-3-2=4>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(0)=0+0-2=-2<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=4+2-2=4>0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-2)& (-2,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-2,1)$. En $x=-2$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo, y en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo.