Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

$f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9}}$

a) Determine las asíntotas de esta función.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Empezamos por el dominio, porque los puntos que quedan fuera son los candidatos a asíntota vertical.

$x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-3,3\}$

En cada uno de esos puntos el numerador no se anula, así que el cociente se dispara.

${\lim }_{x\to -3}{\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9}}={\displaystyle \frac{-5}{0}}=\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9}}={\displaystyle \frac{1}{0}}=\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales.

El grado del numerador es menor que el del denominador, así que el límite en el infinito es cero.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9}}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal, y al existir esta no hay asíntota oblicua.





La recta tangente en $x=0$ es $y-f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)x$, así que necesitamos el valor de la función y el de su derivada en el origen.

$f(0)={\displaystyle \frac{0-2}{0-9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x^2-9)-2x(x-2)}{(x^2-9{)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2+4x-9}{(x^2-9{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{-9}{81}}=-{\displaystyle \frac{1}{9}}$

$y-{\displaystyle \frac{2}{9}}=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x+{\displaystyle \frac{2}{9}}$

La recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=0$ es $y=-{\displaystyle \frac{x}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}$.