Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 3. Análisis.
La cantidad de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ (en millones de toneladas) emitidas a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2020, viene dada por la función
$C(t)=\{\begin{array}{ll}5-{\displaystyle \frac{t}{3}}& ,0\le t<6\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2-4t+18& ,6\le t\le 12\end{array}$ siendo t el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a) Estudie en qué períodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ emitida a la atmósfera.
b) ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2020? ¿En qué momentos se produjeron?
c) Represente la gráfica de la función $C(t)$ teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

Derivamos cada trozo por separado y estudiamos el signo de la derivada.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0<t<6\\ {\displaystyle \frac{t}{2}}-4& 6<t<12\end{array}$

En el primer trozo la derivada es constante y negativa, de modo que la función decrece. En el segundo:

${\displaystyle \frac{t}{2}}-4=0\Rightarrow t=8$

La derivada es negativa antes de $t=8$ y positiva después. En $t=6$ solo cambia la expresión: los dos trozos valen ahí 3 millones de toneladas, así que la función es continua y sigue decreciendo.



Las emisiones de CO2 disminuyeron durante los ocho primeros meses del año y aumentaron durante los cuatro últimos.



Los extremos absolutos se buscan entre los puntos donde cambia el crecimiento y los extremos del intervalo.

$C(0)=5-0=5$

$C(8)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 64-32+18=16-32+18=2$

$C(12)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 144-48+18=36-48+18=6$

Comparando los tres valores, $2<5<6$.

La cantidad máxima emitida fue de 6 millones de toneladas, al final del año, y la mínima de 2 millones de toneladas, a los 8 meses.



El primer trozo es un segmento de recta que baja de $(0,5)$ a $(6,3)$; el segundo, un arco de parábola con vértice en $(8,2)$ que llega hasta $(12,6)$.