Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 3.

Dada la función $f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}$, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiera. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El dominio contiene a todos los números reales menos los que anulan el denominador.

$f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\sqrt{4}=\pm 2$ $\Rightarrow$ Dominio $f(x)=\mathbb{R}$-{-2,2} .

Puntos de corte con los ejes:
Si $x=0$ entonces $f(0)=\frac{1-0^2}{0^2-4}=\frac{1}{-4}=-\mathrm{0,25}$. Un punto de corte con el eje $OY$ es $A(0,-\mathrm{0,25})$.

Si $y=0$ entonces $0=\frac{1-x^2}{x^2-4}\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\sqrt{1}=\pm 1$. Los puntos de corte con el eje $OX$ son $B(1,0)$ y $C(-1,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hubiera.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntota vertical $x=a$.

$x=-2$
${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{1-x^2}{x^2-4}=\frac{1-(-2{)}^2}{(-2{)}^2-4}=\frac{-3}{0}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-2$ es asíntota vertical.

$x=2$
${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1-x^2}{x^2-4}=\frac{1-2^2}{2^2-4}=\frac{-3}{0}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=2$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal $y=b$.

$b={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{1-x^2}{x^2-4}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{1-\frac{4}{x^2}}=\frac{0-1}{1-0}=-1\Rightarrow$La asíntota horizontal es $y=-1$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero.

$f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2x(x^2-4)-2x(1-x^2)}{(x^2-4{)}^2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2x^3+8x-2x+2x^3}{(x^2-4{)}^2}=\frac{6x}{(x^2-4{)}^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \frac{6x}{(x^2-4{)}^2}=0\Rightarrow 6x=0\Rightarrow x=0$.
Estudiamos el signo de la derivada antes y después del punto crítico $x=0$, atendiendo en el estudio los valores excluidos del dominio, pues son puntos de discontinuidad.

En $(-\mathrm{\infty },-2)$ tomamos $x=-3$ y la derivada vale$f^{\mathrm{\prime }}(-3)=\frac{-18}{(-3^2-4{)}^2}=\frac{-18}{25}<0$.La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)$.

En $(-2,0)$ tomamos $x=-1$ y la derivada vale$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=\frac{-6}{(1-4{)}^2}=\frac{-6}{9}<0$.La función decrece en $(-2,0)$.

En $(0,2)$ tomamos $x=1$ y la derivada vale$f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{6}{(1-4{)}^2}=\frac{6}{9}>0$.La función crece en $(0,2)$.

En $(2,+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=3$ y la derivada vale$f^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{18}{(9-4{)}^2}=\frac{18}{25}>0$.La función crece en $(2,+\mathrm{\infty })$.

La función sigue el esquema:









La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$ y crece en $(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el esquema anterior sabemos que la función tiene un mínimo relativo en $x=0$.
Como$f(0)=\frac{1-0^2}{0^2-4}=-\frac{1}{4}=-\mathrm{0,25}$el mínimo relativo tiene coordenadas $(0,-\mathrm{0,25})$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con toda la información obtenida podemos dibujar la gráfica de la función; solo añadimos una tabla de valores.

Tabla de valores:

$x$	$y=\frac{1-x^2}{x^2-4}$
-4	-1,25
-3	-1,6
-1	0
0	-0,25 mínimo
1	0
3	-1,6
4	-1,25