Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 3.

Se considera la función $f(x)=\frac{4x-5}{2(x^2-1)}$. Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dominio

$2(x^2-1)=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}$-{-1,1}

Corte con el eje $OX$ $f(x)=0\Rightarrow 4x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{4}\Rightarrow PC(\frac{5}{4},0)$

Corte con el eje $OY$$x=0\Rightarrow f(0)=\frac{-5}{2(-1)}=\frac{5}{2}\Rightarrow PC(0,\frac{5}{2})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntotas verticales

${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{4x-5}{2(x^2-1)}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{4x-5}{2(x^2-1)}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{la recta }x=-1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{4x-5}{2(x^2-1)}=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{4x-5}{2(x^2-1)}=-\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{la recta }x=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntota horizontal

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{4x-5}{2(x^2-1)}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{4x}{2x^2}=0\Rightarrow y=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Monotonía

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4\cdot 2(x^2-1)-(4x-5)\cdot 4x}{[2(x^2-1){]}^2}=\frac{-8x^2+20x-8}{4(x^2-1{)}^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -8x^2+20x-8=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};x=2$

$\text{Creciente: }(\frac{1}{2},1)\cup (1,2)$ $\text{Decreciente: }(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,\frac{1}{2})\cup (2,+\mathrm{\infty })$

$\text{La funci}\acute{\text{o}}\text{n sigue el esquema siguiente}$:









$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{M}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }x=\frac{1}{2}:\text{ Min},(\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}))=(\frac{1}{2},2)$

$\text{M}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }x=2:\text{ Max},(2,f(2))=(2,\frac{1}{2})$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$x$	$f(x)={\displaystyle \frac{4x-5}{2(x^2-1)}}$
-2	-2.16
0	2.5
0.5	2
0.8	2.5
1.5	0.4
2	0.5
3	0.43
4	0.36