Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 4. Una pequeña empresa paga una cuota fija mensual a su compañía eléctrica de 1 200 euros. Además de la cuota fija, los primeros 250 kWh consumidos los paga a 5 euros cada uno; los siguientes, hasta los 900 kWh, a 3 euros cada uno; y el resto a 2 euros cada uno.

a) ¿A cuánto asciende el recibo de un mes de la empresa si ese mes consumió 400 kWh? (2 puntos)
b) Obtén la función que dé el importe del recibo mensual de la empresa si consume $x$ kWh. Dibuja su gráfica. (5 puntos)
c) Otra pequeña empresa, con la misma cuota fija, paga todos los kWh a 3 euros. ¿Puede ocurrir que en un mes las dos empresas consuman lo mismo y además sus recibos coincidan? En caso afirmativo indica cuál será en ese mes el consumo y el importe del recibo de ambas empresas. (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{4.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{paga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cuota}}\mathbf{\text{fija}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{Adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuota}}\mathbf{\text{fija,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{primeros}}\mathbf{\text{250}}\mathbf{\text{kWh}}\mathbf{\text{consumidos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{paga}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno;}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes,}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{900}}\mathbf{\text{kWh,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno;}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno.}}$

Definimos primeramente la función del importe.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1200+5x& \text{si }0\le x\le 250\\ 2450+3(x-250)& \text{si }250<x\le 900\\ 4400+2(x-900)& \text{si }x>900\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recibo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{consumi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{kWh?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(400)=2450+3(400-250)=2900\text{ €}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recibo}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{consume}}\mathit{x}\mathbf{\text{kWh.}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1200+5x& 0\le x\le 250\\ 2450+3(x-250)& 250<x\le 900\\ 4400+2(x-900)& x>900\end{array}$

Hacemos una tabla para cada uno de los tramos de la función:

$x$	$y=1200+5x$
0	1200
250	2450

$x$	$y=1700+3x$
300	2600
900	4400

$x$	$y=2600+2x$
1000	4600
1100	4800

La gráfica de la función es:










$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Otra}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{empresa,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{cuota}}\mathbf{\text{fija,}}\mathbf{\text{paga}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{kWh}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{ocurrir}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{consuman}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{recibos}}\mathbf{\text{coincidan?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recibo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{empresas.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$g(x)=1200+3x\text{con }x>0$

Averiguamos que mes se pagaría lo mismo con cualquiera de las dos empresas.

$I(x)=J(x)\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{si }0\le x\le 250\to 1200+5x=1200+3x\to 5x=3x\to x=0\\ \text{si }250<x\le 900\to 1700+3x=1200+3x\to 500=0\to \text{¡No es posible!}\\ \text{si }x>900\to 2600+2x=1200+3x\to 1400=x\end{array}$

Se pagaría el mismo importe en la factura con las dos empresas cuando el consumo es de $0$ kwh o de $1400$ kwh.
Cuando el consumo es de $1400$ kwh se paga una factura en las dos empresas por un importe de $5400\text{ €}$.

$J(1400)=1200+3\cdot 1400=5400\text{ €}\Rightarrow J(1400)=I(1400)=5400\text{ €}$

$I(1400)=2600+2\cdot 1400=5400\text{ €}$