Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 4.

Se considera la función: $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+a{x}^2+24x& \text{si }x\le -1,\\ (x-1{)}^2+3& \text{si }x>-1.\end{array}$ siendo $a$ un número real.

a) Determina el valor de $a$ para que esta función sea continua. (2 puntos)
b) Supongamos que $a=9$. Determina los máximos y mínimos locales que tiene esta función en el intervalo $]-9\mathrm{/}2,-3\mathrm{/}2[$. (4 puntos)
c) Supongamos que $a=0$. Calcula el área de la región delimitada por esta función, la recta de ecuación $x=2$, la recta de ecuación $x=3$ y el eje $OX$. (4 puntos)

Sea la función $f(x)$ dada en el enunciado, que está definida por tramos:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+a{x}^2+24x,& x\le -1,\\ (x-1{)}^2+3,& x>-1\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para que $f(x)$ sea continua basta con asegurar la continuidad en $x=-1$:

$f(-1)=(-1{)}^3+a(-1{)}^2+24(-1)=a-25$

${\lim }_{x\to -1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -1^{-}}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x^3+a{x}^2+24x)=a-25\\ {\lim }_{x\to -1^{+}}\text{\hspace{0.17em}⁣}((x-1{)}^2+3)=7\end{array}\Rightarrow a-25=7\Rightarrow a=32$

Si $a=32$, entonces:

${\lim }_{x\to -1}f(x)=f(-1)$

Y $f(x)$ es continua en $x=-1$ (y en $\mathbb{R}$).



En el intervalo $(\frac{-9}{2},\frac{-3}{2})$ la función es $f(x)=x^3+9x^2+24x$

Por tanto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+18x+24$

Puntos críticos resolviendo $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$:

$3x^2+18x+24=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-4\\ x=-2\end{array}$

Según el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$: crece en $(-\mathrm{\infty },-4)$, decrece en $(-4,-2)$, y crece en $(-2,-3\mathrm{/}2)$.











Máximo relativo: $(-4,f(-4))=(-4,-16)$

Mínimo relativo: $(-2,f(-2))=(-2,-20)$







La función $f(x)=(x-1{)}^2+3$ es mayor que cero para todo $x\in \mathbb{R}$. Por tanto, el área pedida:

$A={\int }_2^3[(x-1{)}^2+3]dx={[\frac{(x-1{)}^3}{3}+3x]}_2^3=(\frac{2^3}{3}+9)-(\frac{1}{3}+6)=\frac{16}{3}{u}^2$