Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

B. 3.(Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real, definida $f(x)=(x^2-3)e^x$.

a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y determine sus extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.
b) Calcule

${\int }_1^2{e}^{-x}f(x)dx$.

Derivamos aplicando la regla del producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^x+(x^2-3)e^x=e^x(x^2+2x-3)$

Como $e^x>0$ siempre, el signo de la derivada es el del paréntesis.

$x^2+2x-3=0\Rightarrow (x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=-3,x=1$

Se hace un estudio de signos: la parábola es negativa entre sus raíces.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-3)& (-3,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-3,1)$.

$f(-3)=6e^{-3}\approx \mathrm{0,30},f(1)=-2e\approx -\mathrm{5,44}$

Hay un máximo relativo en $(-3,6e^{-3})$ y un mínimo relativo en $(1,-2e)$.



Conviene simplificar el integrando antes de buscar la primitiva, porque las dos exponenciales se cancelan.

$e^{-x}f(x)=e^{-x}(x^2-3)e^x=x^2-3$

${\int }_1^2(x^2-3)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-3x]}_1^2$

$=({\displaystyle \frac{8}{3}}-6)-({\displaystyle \frac{1}{3}}-3)=-{\displaystyle \frac{10}{3}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

El valor de la integral definida es $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.