Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

4. (2 puntos)

Se considera la siguiente función real de variable real:

$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$

a) Determine las asíntotas de esta función.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Los puntos que quedan fuera del dominio son los candidatos a asíntota vertical.

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

En ambos el numerador vale 8, distinto de cero, y el denominador cambia de signo al atravesarlos.

${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales.

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+4}{x^2-4}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal por ambos lados, y al existir esta no hay asíntota oblicua.



La recta tangente en $x=1$ es $y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)$, así que calculamos el valor de la función y el de su derivada.

$f(1)={\displaystyle \frac{1+4}{1-4}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-16x}{(x^2-4{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-16}{9}}$

$y+{\displaystyle \frac{5}{3}}=-{\displaystyle \frac{16}{9}}(x-1)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{16}{9}}x+{\displaystyle \frac{1}{9}}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y={\displaystyle \frac{-16x+1}{9}}$.