Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

B.2. (2 puntos)

Considere la función real de variable real

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x-1}}$.

a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ y halle el valor de $f^{\mathrm{\prime }}(2)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{(verticales,}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El único punto que anula el denominador es $x=1$, y ahí el numerador vale $1-1+1=1\mathrm{\ne }0$.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, de modo que no hay asíntota horizontal pero sí oblicua, $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x(x-1)}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x-1}}-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}=0$

La recta $y=x$ es asíntota oblicua por ambos lados.





Derivamos el cociente aplicando su regla y simplificamos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-3x+1-x^2+x-1}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{2\cdot 0}{1}}=0$

La derivada se anula en $x=2$, donde la función presenta el mínimo relativo que se aprecia en la gráfica.