Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

3. (2 puntos)

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x^2}+a$

a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ pase por los puntos $(1,3)y(2,\frac{7}{2})$. Escriba la expresión de la función $f(x)$.
b) Para $a=1$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

La función es una primitiva de la derivada que da el enunciado, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-1}{x^2}}+a$, así que integramos.

$f(x)=\int (-x^{-2}+a)dx={\displaystyle \frac{1}{x}}+ax+C$

Que la gráfica pase por los dos puntos se traduce en dos condiciones que forman un sistema en $a$ y $C$.

$f(1)=1+a+C=3\Rightarrow a+C=2$

$f(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}+2a+C={\displaystyle \frac{7}{2}}\Rightarrow 2a+C=3$

Restando la primera ecuación de la segunda se despeja el parámetro.

$a=1\Rightarrow C=1$

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+x+1$



El dominio excluye el origen, $\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$, y el signo de la derivada decide la monotonía.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-1}{x^2}}+1={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=-1,x=1$

El denominador es siempre positivo, así que el signo es el del numerador. Se hace un estudio de signos incluyendo el polo $x=0$, que no pertenece al dominio.

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },-1)& (-1,0)& (0,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& -& +\end{array}$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,0)\cup (0,1)$.

En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo, y en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo.

$f(-1)=-1-1+1=-1,f(1)=1+1+1=3$

El máximo relativo está en $(-1,-1)$ y el mínimo relativo en $(1,3)$.