Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

B.3. (2 puntos) Considere la función real de variable real

$f(x)=x+\frac{2}{x}$

a) Halle el dominio de la función y determine sus asíntotas.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El único punto que anula el denominador es el origen.

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

Estudiamos ese punto, donde el numerador de la fracción no se anula.

${\lim }_{x\to 0^{-}}(x+{\displaystyle \frac{2}{x}})=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 0^{+}}(x+{\displaystyle \frac{2}{x}})=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=0$ es asíntota vertical.

En el infinito la función no se estabiliza, así que no hay asíntota horizontal, pero sí oblicua.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(x+{\displaystyle \frac{2}{x}})=\pm \mathrm{\infty }$

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(1+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(x+{\displaystyle \frac{2}{x}}-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{x}}=0$

La función tiene la asíntota vertical $x=0$ y la asíntota oblicua $y=x$ por ambos lados.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El signo de la derivada decide la monotonía, y sus ceros son los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^2-2}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo es el del numerador. Se hace un estudio de signos incluyendo el polo $x=0$.

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },-\sqrt{2})& (-\sqrt{2},0)& (0,\sqrt{2})& (\sqrt{2},+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& -& +\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})$, con un máximo relativo en $x=-\sqrt{2}$ y un mínimo relativo en $x=\sqrt{2}$.