Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

B 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x)=\frac{x^3-2x^2}{(x-1{)}^2}$

a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.
b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

El dominio lo forman todos los reales salvo el que anula el denominador.

$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{1\}$

En ese punto el numerador vale $1-2=-1\mathrm{\ne }0$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{-1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{-1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical, con la curva bajando por los dos lados.

El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, así que no hay asíntota horizontal pero sí oblicua.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3-2x^2}{x(x-1{)}^2}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^3-2x^2}{(x-1{)}^2}}-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-x}{(x-1{)}^2}}=0$

La función tiene la asíntota vertical $x=1$ y la asíntota oblicua $y=x$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El signo de la derivada decide la monotonía.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x(x^2-3x+4)}{(x-1{)}^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(x^2-3x+4)=0$

El paréntesis no se anula nunca, porque su discriminante es $9-16=-7<0$ y su coeficiente principal es positivo, así que es siempre positivo. El único punto crítico es $x=0$ y el signo lo decide el producto de $x$ por $(x-1{)}^3$.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },0)& (0,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(0,1)$, con un máximo relativo en $(0,0)$.