Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 3.

Se considera la función $f(x)=\frac{x^2-3x}{x(x-3)+(x+1)}$. Se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$f(x)=\frac{x^2-3x}{x^2-3x+x+1}=\frac{x^2-3x}{x^2-2x+1}=\frac{x^2-3x}{(x-1{)}^2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Todos los números reales excepto aquellos donde se anule el denominador formarán parte del dominio:

$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\}$

Puntos de corte con el eje $X$:

$f(x)=0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow \text{El punto de corte es: }{P}_1=(0,0)\\ x=3\Rightarrow \text{El punto de corte es: }{P}_2=(3,0)\end{array}$

Puntos de corte con el eje $Y$:

$x=0\Rightarrow f(0)=\frac{0}{1}=0\Rightarrow \text{El punto de corte es: }{P}_1=(0,0)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntota vertical:

${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-3x}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{0}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{x^2-3x}{(x-1{)}^2}=\left[\frac{-2}{0^{+}}\right]=-\mathrm{\infty }\\ {\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-3x}{(x-1{)}^2}=\left[\frac{-2}{0^{+}}\right]=-\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=1\text{ es una as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical.}$

Asíntotas horizontales:

$\{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x^2-3x}{x^2-2x+1}=\left(\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\right)=1\\ {\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x^2-3x}{x^2-2x+1}=1\end{array}\Rightarrow y=1\text{ es una as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal.}$

Para el cálculo de la asíntota horizontal, el resultado obtenido de 1 se encuentra aplicando la regla de L'Hopital arriba y abajo de la fracción.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Ambos enunciados se harán conjuntamente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-3)(x-1{)}^2-(x^2-3x)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{2x^2-2x-3x+3-2x^2+6x}{(x-1{)}^3}=\frac{x+3}{(x-1{)}^3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x=-3$



$Contenedor50

Contenedor50$
$Contenedor50
Creciente: $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (1,\mathrm{\infty })$
Decreciente: $(-3,1)$
Máximo relativo: $(-3,(f(-3))=(-3,\frac{9}{8})$
Contenedor50$



$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$