Examen de Matemáticas CCSS de Comunidad Valenciana 2023 (convocatoria extraordinaria)

Problema 1.

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& -2\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -1& 4& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcular la matriz $A^2$ y su inversa. (5 puntos)
b) Resolver la ecuación matricial $2A^{2}X=4B$. (5 puntos)

Problema 2.

Un millonario ha dejado en herencia todo su dinero a sus tres hijas. A la hija mayor le ha dejado 9 millones de euros más la mitad de la suma de lo que ha dejado a las otras dos. A la hija mediana le ha dejado la mitad de la suma de lo que ha dejado a las otras dos. A la hija pequeña le ha dejado el 35% de la suma de lo que ha dejado a las otras dos. ¿Cuánto dinero ha dejado el millonario a cada una de sus hijas?

(Planteamiento correcto 5 puntos-Resolución correcta 5 puntos)

Problema 3.

Se considera la función $f(x)=\frac{4x-5}{2(x^2-1)}$. Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Problema 4.

El consumo de energía (en MWh) en una empresa metalúrgica a las $x$ horas de un día viene dado por la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+14,& \text{si }x\in [0,6]\\ -x^2+24x-82,& \text{si }x\in ]6,18]\\ -x+34,& \text{si }x\in ]18,24]\end{array}$

a) Estudia la continuidad de esta función en el intervalo $[0,24]$. (3 puntos)
b) Determina a qué horas del día el consumo alcanza sus valores máximo y mínimo. ¿Cuáles son dichos valores? (4 puntos)
c) Planteando la integral adecuada, calcula el consumo que se realiza entre las 8 de la mañana y las 10 de la mañana. (3 puntos)

Problema 5.

Una estación espacial internacional cuenta con un grupo de especialistas en ingeniería y con otro de especialistas en ciencias. El grupo de especialistas en ingeniería está compuesto por 10 especialistas de América y 20 de Europa, entre los cuales 7 y 9 son mujeres, respectivamente. El grupo de especialistas en ciencias está formado por 21 especialistas de América y 19 de Europa, entre los cuales 12 y 10 son mujeres, respectivamente. Se elige un integrante de la estación espacial al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Europa? (2 puntos)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y especialista en ciencias? (2 puntos)
c) Si se ha elegido una mujer, ¿es más probable que sea especialista en ciencias o en ingeniería? (3 puntos)
d) ¿Son independientes los sucesos “ser mujer” y “ser especialista en ingeniería”? (3 puntos)

Problema 6.

En una población hay dos compañías, $A$ y $B$, que proporcionan el servicio de internet. La compañía $A$ proporciona servicio al 70% de los hogares que han contratado el servicio de internet. El 65% de los hogares que han contratado el servicio de internet tienen contratado también el servicio de televisión de pago. Sabemos que la mitad de los clientes de la compañía $B$ ha contratado televisión de pago.

a) Calcula el porcentaje de hogares que no han contratado el servicio de televisión de pago y tienen contratado el servicio de internet con la compañía $A$. (3 puntos)
b) Si en un hogar se ha contratado el servicio de internet, pero no el servicio de televisión de pago, ¿cuál es la probabilidad de que sea cliente de la compañía $B$? (4 puntos)
c) Sea $A$ el suceso “ser cliente de la compañía $A$” y $C$ el suceso “haber contratado la televisión de pago”. Calcula $P(A\cup C)$. (3 puntos)