Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 6.

En una población hay dos compañías, $A$ y $B$, que proporcionan el servicio de internet. La compañía $A$ proporciona servicio al 70% de los hogares que han contratado el servicio de internet. El 65% de los hogares que han contratado el servicio de internet tienen contratado también el servicio de televisión de pago. Sabemos que la mitad de los clientes de la compañía $B$ ha contratado televisión de pago.

a) Calcula el porcentaje de hogares que no han contratado el servicio de televisión de pago y tienen contratado el servicio de internet con la compañía $A$. (3 puntos)
b) Si en un hogar se ha contratado el servicio de internet, pero no el servicio de televisión de pago, ¿cuál es la probabilidad de que sea cliente de la compañía $B$? (4 puntos)
c) Sea $A$ el suceso “ser cliente de la compañía $A$” y $C$ el suceso “haber contratado la televisión de pago”. Calcula $P(A\cup C)$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as,}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proporcionan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internet.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{proporciona}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{70\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internet.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{65\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internet}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pago.}}\mathbf{\text{Sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{B}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pago.}}$

Sean los sucesos:
A = Ser cliente de la compañía A
B = Ser cliente de la compañía B
C = Contratar la televisión de pago

Hacemos una tabla de contingencia para obtener de forma rápida todos los datos necesarios para responder a las preguntas del ejercicio.

$$	$\text{Televisi}\acute{\text{o}}\text{n de pago}$	$\text{Sin televisi}\acute{\text{o}}\text{n de pago}$	$$
Internet con A			70
Internet con B			30 Totales	65		100

La mitad de los clientes de la compañía $B$ $(30\mathrm{\%})$ ha contratado televisión de pago $\to$ $15\mathrm{\%}$ de las personas con conexión a internet están con la compañía $B$ y con televisión de pago.
Completamos la tabla.

$$	$Televisi\acute{o}ndepagoC$	$Sintelevisi\acute{o}ndepago$	$$
Internet con A	50	20	70
Internet con B	15	15	30 Totales	65	35	100

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pago}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internet}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{C}\cap A)=P(A)P(\bar{C}\mid A)=0.7(1-\frac{5}{7})=\frac{1}{5}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hogar}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{contratado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{internet,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pago,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(B\mid \bar{C})=\frac{P(B\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{0.3\cdot 0.5}{1-0.65}=\frac{3}{7}$



$P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)=1-P(B\cap \bar{C})=1-0.3\cdot 0.5=0.85$