Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 5.

Un instituto tiene estudiantes de ESO y de Bachillerato. El instituto ofrece tres extraescolares: dos deportivas (fútbol y baloncesto) y una no deportiva (música); todos los estudiantes tienen que escoger una extraescolar, pero solo una. El instituto tiene en total 400 estudiantes, y 300 de ellos han escogido fútbol. El instituto tiene 310 estudiantes de ESO; de ellos, 230 han escogido fútbol y 60 han escogido baloncesto. Se sabe también que 8 estudiantes de Bachillerato han escogido música. Seleccionamos al azar un estudiante de este instituto.

a) Calcula la probabilidad de la unión de los sucesos “el estudiante está en ESO” y “el estudiante ha escogido música”. (3 puntos)
b) Si sabemos que el estudiante seleccionado ha escogido una extraescolar deportiva, ¿cuál es la probabilidad de que esté en ESO? (4 puntos)
c) ¿Son independientes los sucesos “el estudiante está en Bachillerato” y “el estudiante no ha escogido baloncesto”? (3 puntos)

Sean los sucesos:

A $\equiv$ El estudiante de Bachillerato
F $\equiv$ El estudiante escoge fútbol
B $\equiv$ El estudiante escoge baloncesto
M $\equiv$ El estudiante escoge música

Y el consiguiente diagrama de árbol (extraído de los datos del enunciado):



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ESO”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{sica”.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{A}\cup M)=P(\bar{A})+P(A\cap M)=P(\bar{A})+P(A)\cdot P(M\mid A)={\displaystyle \frac{310}{400}}+{\displaystyle \frac{90}{400}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{90}}={\displaystyle \frac{318}{400}}=\mathrm{0,7950}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{extraescolar}}\mathbf{\text{deportiva,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ESO?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{A}\mid F\cup B)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap (F\cup B))}{P(F\cup B)}}={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap F)+P(\bar{A}\cap B)}{P(A\cap F)+P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap F)+P(\bar{A}\cap B)}}={\displaystyle \frac{\frac{310}{400}\cdot \frac{230}{310}+\frac{310}{400}\cdot \frac{60}{310}}{\frac{90}{400}\cdot \frac{70}{90}+\frac{90}{400}\cdot \frac{12}{90}+\frac{310}{400}\cdot \frac{230}{310}+\frac{310}{400}\cdot \frac{60}{310}}}={\displaystyle \frac{\frac{290}{400}}{\frac{372}{400}}}={\displaystyle \frac{290}{372}}=\mathrm{0,7796}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Bachillerato”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{baloncesto”?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A)={\displaystyle \frac{90}{400}}=\mathrm{0,2250}$

$P(A\mid \bar{B})={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}}={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{B})}{1-P(B)}}={\displaystyle \frac{\frac{90}{400}\cdot \frac{78}{90}}{1-\frac{72}{400}}}={\displaystyle \frac{\frac{78}{400}}{\frac{328}{400}}}={\displaystyle \frac{78}{328}}=\mathrm{0,2378}$

Como $P(A)\mathrm{\ne }P(A\mid \bar{B}),\Rightarrow A$ y $\bar{B}$ no son independientes.