Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

B.4. ( 2 puntos)

En un instituto se decide que los alumnos y alumnas solo pueden utilizar un único color (azul o negro) al realizar los exámenes. Dos de cada tres exámenes están escritos en azul. La probabilidad de que un examen escrito en azul sea de una alumna es de 0,7. La probabilidad de que un examen esté escrito en negro y sea de un alumno es 0,2. Se elige un examen al azar. Determine la probabilidad de que

a) Sea el examen de un alumno.
b) Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $Az$ a que el examen esté escrito en azul, $N$ a que lo esté en negro y $H$ a que sea de un alumno. Del enunciado se deduce que $P(Az)={\displaystyle \frac{2}{3}}$, $P(N)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ y, como la probabilidad de que un examen azul sea de una alumna es $\mathrm{0,7}$, la de que sea de un alumno es su contraria.

$P(H\mathrm{/}Az)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

Organizamos la información en un diagrama de árbol; el dato $P(N\cap H)=\mathrm{0,2}$ es ya un camino completo del árbol y no una probabilidad condicionada.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total, ya que el color del bolígrafo forma un sistema completo de sucesos.

$P(H)=P(Az\cap H)+P(N\cap H)=P(Az)P(H\mathrm{/}Az)+P(N\cap H)$

$P(H)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que el examen elegido sea de un alumno es $\mathrm{0,4}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{escrito}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{negro,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Ahora se conoce el color y se pregunta por el autor, así que se trata de una probabilidad condicionada que se obtiene directamente de su definición.

$P(H\mathrm{/}N)={\displaystyle \frac{P(N\cap H)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$P(H\mathrm{/}N)=\mathrm{0,2}\cdot 3=\mathrm{0,6}$

Sabiendo que el examen está escrito en negro, la probabilidad de que sea de un alumno es $\mathrm{0,6}$.