Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

B.5. ( 2 puntos) Determinado modelo de lavadora tiene un programa de lavado con un consumo de agua que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal cuya desviación típica es de 7 litros.

a) En una muestra aleatoria simple de 10 lavadoras los consumos de agua en un lavado con este programa fueron los siguientes:

$40453844414035504037$

Construya el intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado.

b) A partir de una muestra de 64 lavadoras elegidas al azar, se obtuvo un intervalo de confianza para la media con una longitud de 5 litros. Obtenga el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{programa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lavado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida es $(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$. Empezamos por la media de la muestra.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{40+45+38+44+41+40+35+50+40+37}{10}}={\displaystyle \frac{410}{10}}=41$

Buscamos el valor crítico correspondiente al nivel de confianza pedido.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

Calculamos el error máximo de la estimación con $\sigma =7$ litros y $n=10$.

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{7}{\sqrt{10}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{2,2136}\approx \mathrm{3,64}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(\mu )=(41-\mathrm{3,64},41+\mathrm{3,64})=(\mathrm{37,36},\mathrm{44,64})$

Con una confianza del 90 %, el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras está entre $\mathrm{37,36}$ y $\mathrm{44,64}$ litros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{64}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{elegidas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{litros.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{utilizado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El intervalo está centrado en la media muestral, así que su longitud es el doble del error máximo.

$2E=5\Rightarrow E=\mathrm{2,5}\text{ litros}$

Despejamos el valor crítico de la fórmula del error, ahora con $n=64$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{2,5}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{7}{8}}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}\cdot 8}{7}}={\displaystyle \frac{20}{7}}\approx \mathrm{2,86}$

Deshacemos el camino habitual y leemos la tabla de la normal estándar al revés.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,86})=\mathrm{0,9979}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=1-\mathrm{0,9979}=\mathrm{0,0021}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,0042}$

$1-\alpha =\mathrm{0,9958}$

El intervalo se construyó con un nivel de confianza del $\mathrm{99,58}\mathrm{\%}$.