Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 3.

Si un habitante de la ciudad de $\mathit{\text{Megal}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{polis}}$ es portador del anticuerpo $A$, entonces 2 veces de cada 5 es portador del anticuerpo $B$. Por el contrario, si no es portador del anticuerpo $A$, entonces 4 veces de cada 5 no es portador del anticuerpo $B$. Si sabemos que la mitad de la población es portadora del anticuerpo $A$, calcula:

a) La probabilidad de que un habitante de $\mathit{\text{Megal}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{polis}}$ sea portador del anticuerpo $B$.
b) La probabilidad de que si un habitante de $\mathit{\text{Megal}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{polis}}$ es portador del anticuerpo $B$ lo sea también del anticuerpo $A$.
c) La probabilidad de que si un habitante de $\mathit{\text{Megal}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{polis}}$ no es portador del anticuerpo $B$, tampoco lo sea del anticuerpo $A$.
d) La probabilidad de que un habitante de $\mathit{\text{Megal}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{polis}}$ sea portador del anticuerpo $A$ y no lo sea del anticuerpo $B$. (Cada apartado puntúa 2,5 puntos)

Realizamos un diagrama de árbol.


Con estos datos respondemos a las preguntas.



Miramos en el árbol qué ramas cumplen lo pedido y calculamos las probabilidades.

$P(\text{portador de anticuerpo B})=\mathrm{0,5}\cdot \frac{2}{5}+\mathrm{0,5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3}$



Es una probabilidad a posteriori, aplico el teorema de Bayes.

$P(\text{sea portador de anticuerpo A / es portador de anticuerpo B})={\displaystyle \frac{P(\text{sea portador de anticuerpo A}\cap \text{es portador de anticuerpo B})}{P(\text{sea portador de anticuerpo B})}}$ $={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{3}{10}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,66}$



Es una probabilidad a posteriori, aplico de nuevo el teorema de Bayes.

$P(\text{no sea portador de anticuerpo A / no es portador de anticuerpo B})={\displaystyle \frac{P(\text{no sea portador de anticuerpo A}\cap \text{no es portador de anticuerpo B})}{P(\text{no es portador de anticuerpo B})}}$ $={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \frac{4}{5}}{1-\frac{3}{10}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,571}$



Miramos en el árbol y buscamos la rama que cumple lo pedido.

$P(\text{sea portador de anticuerpo A y no sea portador de anticuerpo B})=\mathrm{0,5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3}$