Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 5.

Si $A$ y $B$ son dos sucesos tales que $P(A)=0,4$, $P(B\mathrm{\mid }A)=0,25$ y $P(B^c)=0,75$, se pide

a) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? ¿Por qué? (2,5 puntos)
b) Calcula $P(A\cup B)$. (2,5 puntos)
c) Calcula $P(A\mathrm{\mid }{B}^c)$. (2,5 puntos)
d) Calcula $P(A^c\cup B^c)$ y $P(A^c\cap B^c)$. (2,5 puntos) ($A^c$ y $B^c$ representan, respectivamente, el suceso complementario de $A$ y el suceso complementario de $B$).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Para ser independientes debe cumplirse que $P(A\cap B)=P(A),P(B)$.

$P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,25}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$\Rightarrow$$\frac{P(A\cap B)}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{0,25}\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,1}$.

$P(B)=1-P(B^c)=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$.

$\{\begin{array}{l}P(A\cap B)=\mathrm{0,1}\\ P(A)P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,1}\end{array}$$\Rightarrow$$P(A\cap B)=P(A)P(B)\Rightarrow$Los sucesos A y B son independientes.



$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,25}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,55}$.



$P(A\mathrm{/}{B}^c)=\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}=\frac{P(A)P(B^c)}{P(B^c)}=\frac{P(A),[1-P(B\mathrm{/}A)]}{P(B^c)}=\frac{\mathrm{0,4},(1-\mathrm{0,25})}{\mathrm{0,75}}=\mathrm{0,4}$.



$P(A^c\cup B^c)=P((A\cap B{)}^c)=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.

$P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B{)}^c)=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$.