Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 6.

El director de una entidad que audita la contabilidad de empresas sabe, por experiencias pasadas, que cuando se hace una auditoría el 30% de las empresas merece una calificación de «Excelente», el 50% de las empresas merece la calificación de «Aceptable» y el 20% restante merece una calificación de «Deficiente». El director también sabe que entre los auditores de su entidad hay un 90% de auditores que siempre auditan correctamente y dan a cada empresa la calificación que merece; pero hay un 10% de auditores que no auditan correctamente y dan siempre una calificación de «Aceptable».

a) ¿Qué proporción de empresas auditadas por esa entidad recibe la calificación de «Deficiente»? (3 puntos)
b) ¿Qué proporción de empresas auditadas por esa entidad recibe la calificación que realmente merece? (3 puntos)
c) Para analizar si un determinado auditor audita correctamente o no, el director le encarga que audite la contabilidad de una empresa escogida al azar. No sabemos cuál es la calificación que merece esa empresa. Si el auditor da la calificación de «Aceptable», ¿cuál es la probabilidad de que este auditor sea uno de los que siempre auditan correctamente? (4 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{director}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{entidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{audita}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{contabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{sabe,}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{experiencias}}\mathbf{\text{pasadas,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{auditor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{30\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{merece}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Excelente»,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{50\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{merece}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Aceptable»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{restante}}\mathbf{\text{merece}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Deficiente».}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{director}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{auditores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{entidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{90\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{auditores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{auditan}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dan}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{merece;}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{auditores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{auditan}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dan}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Aceptable».}}$

Sean los sucesos:




Probabilidades iniciales:
$P(\text{Empresa Excelente})=P(Ex)=0.30$
$P(\text{Empresa Aceptable})=P(A)=0.50$
$P(\text{Empresa Deficiente})=P(D)=0.20$




Probabilidades condicionadas según el auditor:
$P(B\mid Ex)=0.9,P(B^c\mid Ex)=0.1$
$P(B\mid A)=0.1,P(B^c\mid A)=0.9$
$P(B\mid D)=0.9,P(B^c\mid D)=0.1$




Realizamos un diagrama de árbol para aclarar la situación planteada.


$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{auditadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{entidad}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Deficiente»?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total: $P(\text{Calificaci}\acute{\text{o}}\text{n Deficiente})=P(D),P(B\mid D)=0.2\cdot 0.9=0.18$

Conclusión: El $18\mathrm{\%}$ de las empresas auditadas obtiene calificación Deficiente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{auditadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{entidad}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{merece?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(Ex\cap B)+P(A)+P(D\cap B)=P(Ex),P(B\mid Ex)+P(A)+P(D),P(B\mid D)$ $=0.3\cdot 0.9+0.5+0.2\cdot 0.9=0.27+0.5+0.18=0.95$

El $95\mathrm{\%}$ de las empresas auditadas obtienen una calificación correcta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{analizar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{auditor}}\mathbf{\text{audita}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{director}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{encarga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{audite}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{contabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{escogida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{merece}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{auditor}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«Aceptable»,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{auditor}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{auditan}}\mathbf{\text{correctamente?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden calcular: $P(\text{Auditor bueno}\mid \text{Calificaci}\acute{\text{o}}\text{n Aceptable})$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:
$P(\text{Auditor bueno}\mid \text{Calificaci}\acute{\text{o}}\text{n Aceptable})={\displaystyle \frac{P(\text{Auditor bueno}\cap \text{Calificaci}\acute{\text{o}}\text{n Aceptable})}{P(\text{Calificaci}\acute{\text{o}}\text{n Aceptable})}}$

Sustituimos: $=\frac{P(A),P(B\mid A)}{P(Ex),P(B^c\mid Ex)+P(A)+P(D),P(B^c\mid D)}=\frac{0.5\cdot 0.9}{0.3\cdot 0.1+0.5+0.2\cdot 0.1}$ $=\frac{9}{11}=0.818$