Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 5. Entre los clientes de una compañía de seguros de automóviles, un 30% tiene menos de 30 años, un 55% tiene entre 30 y 60 años, y el 15% restante tiene más de 60 años. Se sabe que, entre los clientes de menos de 30 años, 3 de cada 4 no presentaron parte de accidente el año pasado; entre los clientes que tienen entre 30 y 60 años, 9 de cada 10 no presentaron parte de accidente el año pasado; y entre los clientes de más de 60 años, 2 de cada 5 no presentaron parte de accidente el año pasado. Seleccionamos al azar un cliente de la compañía.
a) Llamemos A al suceso “el cliente seleccionado tiene más de 60 años” y llamemos B al suceso “el cliente seleccionado no presentó parte de accidente el año pasado”. Calcula $P(A\cup B)$. (3 puntos)
b) Llamemos C al suceso “el cliente seleccionado tiene 30 años o más” y D al suceso “el cliente seleccionado presentó parte de accidente el año pasado”. Calcula $P(C\cap D)$. (3 puntos)
c) Si sabemos que el cliente seleccionado presentó parte de accidente el año pasado, calcula la probabilidad de que tenga 60 años o menos. (4 puntos)

Sean los sucesos:
$F$ = el cliente tiene menos de 30 años
$G$ = el cliente tiene entre 30 y 60 años
$H$ = el cliente tiene más de 60 años
$P$ = el cliente presentó parte de accidente

El diagrama de árbol es:





$A=\text{m}\acute{\text{a}}\text{s de 60}=H$
$B=\text{no present}\acute{\text{o}}\text{ parte}=\bar{P}\Rightarrow P(A\cup B)=P(H\cup \bar{P})=P(H)+P(G\cap \bar{P})+P(F\cap \bar{P})$

$P(A\cup B)=0.15+0.55\cdot \frac{9}{10}+0.30\cdot \frac{3}{4}=0.87$



$C=\text{30 a}\tilde{\text{n}}\text{os o m}\acute{\text{a}}\text{s}$
$D=\text{present}\acute{\text{o}}\text{ parte}$

$p(C\cap D)=p(G\cap D)+p(H\cap D)$

$p(C\cap D)=0.55\cdot \frac{1}{10}+0.15\cdot \frac{3}{5}=0.145$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{present}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{accidente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{pasado,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">60</mn>}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menos.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$p(\bar{H}\mid P)=\frac{p(\bar{H}\cap P)}{p(P)}$

$p(\bar{H}\mid P)=\frac{0.3\cdot \frac{1}{4}+0.55\cdot \frac{1}{10}}{0.3\cdot \frac{1}{4}+0.55\cdot \frac{1}{10}+0.15\cdot \frac{3}{5}}$

$p(\bar{H}\mid P)=\frac{13}{22}=0.591$