Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 6. Una determinada enfermedad afecta actualmente al 5% de la población. El único test disponible para detectar la enfermedad tiene una probabilidad del 99% de clasificar correctamente a los enfermos (probabilidad de que el test dé positivo si la persona tiene la enfermedad), mientras que la probabilidad de que el test dé negativo si la persona no está enferma es del 95%. Se pide:

a) La probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el test. (2,5 puntos)
b) La probabilidad de que una persona esté sana si ha dado negativo en el test. (2,5 puntos)
c) La probabilidad de que el test dé el resultado correcto. (2,5 puntos)
d) Existen indicios para creer que la enfermedad afecta únicamente a un 1% de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el test en este caso? (2,5 puntos)

Realizamos un diagrama de árbol.



Llamamos $A$ = Estar enfermo, $\bar{A}$ = No enfermo. $B$ = Test positivo, $\bar{B}$ = Test negativo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{enferma}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Es una probabilidad a posteriori. Aplicamos el teorema de Bayes.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{P(A)\mathrm{.}P(B\mathrm{/}A)}{P(A)\mathrm{.}P(B\mathrm{/}A)+P(\bar{A})\mathrm{.}P(B\mathrm{/}\bar{A})}}$$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,99}}{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,05}}}={\displaystyle \frac{99}{194}}\approx \mathrm{0,51}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sana}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{negativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Es una probabilidad a posteriori. Aplicamos de nuevo el teorema de Bayes.

$P(\bar{A}\mathrm{/}\bar{B})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}}={\displaystyle \frac{P(\bar{A})\mathrm{.}P(\bar{B}\mathrm{/}\bar{A})}{P(A)\mathrm{.}P(\bar{B}\mathrm{/}A)+P(\bar{A})\mathrm{.}P(\bar{B}\mathrm{/}\bar{A})}}$ $={\displaystyle \frac{\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,95}}{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,95}}}={\displaystyle \frac{1805}{1806}}\approx \mathrm{0,9994}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{correcto.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Dar el resultado correcto es que dé positivo cuando estás enfermo y dar negativo cuando no estás enfermo.

$P((A\cap B)\cup (\bar{A}\cap \bar{B}))=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(A)\mathrm{.}P(B\mathrm{/}A)+P(\bar{A})\mathrm{.}P(\bar{B}\mathrm{/}\bar{A})$ $=\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,95}=\frac{119}{125}=\mathrm{0,952}$


Si cambiamos la probabilidad de estar enfermo a $\mathrm{0,01}$, entonces la probabilidad de no estarlo es $\mathrm{0,99}$. Cambiamos estos datos en lo realizado en el apartado a).

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{P(A)\mathrm{.}P(B\mathrm{/}A)}{P(A)\mathrm{.}P(B\mathrm{/}A)+P(\bar{A})\mathrm{.}P(B\mathrm{/}\bar{A})}}$ $={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,99}}{\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,99}\cdot \mathrm{0,05}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}$