Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

B.4. ( 2 puntos)

Un estudio sobre la obsolescencia programada en una marca de electrodomésticos reveló que la probabilidad de que un microondas se estropee durante el periodo de garantía es 0,02. Esta probabilidad se eleva a 0,05 para sus hornos eléctricos y se sabe que estos sucesos son independientes. Cuando el microondas se ha estropeado en el período de garantía, la marca amplía esta por dos años más. El 40 % de los clientes con garantía ampliada no conserva la factura de compra durante los dos años de ampliación.

a) Un cliente compra un horno y un microondas de esta marca. Obtenga la probabilidad de que se estropee al menos uno de ellos durante el periodo de garantía.
b) Un cliente ha comprado un microondas. Calcule la probabilidad de que se le estropee durante el período de garantía y conserve la factura durante los dos años de ampliación.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{horno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{microondas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{marca.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estropee}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{garant}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $M$ a que se estropee el microondas durante la garantía y $H$ a que se estropee el horno, con $P(M)=\mathrm{0,02}$ y $P(H)=\mathrm{0,05}$. El suceso contrario de «se estropea al menos uno» es «no se estropea ninguno», que resulta mucho más cómodo de calcular.

$P(\text{al menos uno})=1-P(\bar{M}\cap \bar{H})$

Como los dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios y la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(\bar{M}\cap \bar{H})=P(\bar{M})P(\bar{H})=\mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,95}=\mathrm{0,931}$

$P(\text{al menos uno})=1-\mathrm{0,931}=\mathrm{0,069}$

La probabilidad de que se estropee al menos uno de los dos aparatos durante el periodo de garantía es $\mathrm{0,069}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{comprado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{microondas.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{estropee}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{garant}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{conserve}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{factura}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ampliaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La ampliación de garantía solo se concede si el microondas se ha estropeado, así que los dos sucesos se encadenan y conviene representarlos en un diagrama de árbol. Llamamos $F$ a conservar la factura durante los dos años de ampliación, y del enunciado se deduce $P(F\mathrm{/}M)=1-\mathrm{0,40}=\mathrm{0,60}$.



Recorremos la rama que interesa y multiplicamos las probabilidades, según la definición de probabilidad condicionada.

$P(M\cap F)=P(M)P(F\mathrm{/}M)=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,60}$

$P(M\cap F)=\mathrm{0,012}$

La probabilidad de que a un cliente se le estropee el microondas durante la garantía y conserve la factura durante los dos años de ampliación es $\mathrm{0,012}$.