Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 6.

Una empresa de vacunas para ganado bovino está evaluando la efectividad de dos métodos distintos, A y B, para administrar una vacuna contra virus que afectan al aparato respiratorio. En el estudio, de las 600 reses de una explotación ganadera, 250 fueron vacunadas por el método A, otras 250 por el método B y el resto no fueron vacunadas. Se observó que en los cuatro meses siguientes tuvieron problemas respiratorios el 30 % de las reses vacunadas por el método A, el 20 % de las vacunadas por el método B y el 60 % de las no vacunadas. Calcula:

a) La probabilidad de que una res elegida al azar haya tenido problemas respiratorios. (3 puntos)
b) La probabilidad de que una res que no ha tenido problemas respiratorios haya sido vacunada por el método B. (4 puntos)
c) La probabilidad de la intersección de los sucesos “la res no ha sido vacunada” y “la res tiene problemas respiratorios”. (3 puntos)

Sean los sucesos:

A $\equiv$ La res ha sido vacunada con el método A
B $\equiv$ La res ha sido vacunada con el método B
C $\equiv$ La res no ha sido vacunada
D $\equiv$ La res ha tenido problemas respiratorios.

Y el consiguiente diagrama de árbol (extraído de los datos del enunciado):



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{res}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{tenido}}\mathbf{\text{problemas}}\mathbf{\text{respiratorios.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D)=P(A)\cdot P(D\mid A)+P(B)\cdot P(D\mid B)+P(C)\cdot P(D\mid C)={\displaystyle \frac{250}{600}}\cdot \mathrm{0,3}+{\displaystyle \frac{250}{600}}\cdot \mathrm{0,2}+{\displaystyle \frac{100}{600}}\cdot \mathrm{0,6}={\displaystyle \frac{37}{120}}=\mathrm{0,3083}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{res}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{tenido}}\mathbf{\text{problemas}}\mathbf{\text{respiratorios}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{vacunada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(B\mid \bar{D})=\frac{P(B\cap \bar{D})}{P(\bar{D})}={\displaystyle \frac{\frac{250}{600}\cdot \mathrm{0,8}}{1-\frac{37}{120}}}={\displaystyle \frac{40}{83}}=\mathrm{0,4819}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“la}}\mathbf{\text{res}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{vacunada”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“la}}\mathbf{\text{res}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{problemas}}\mathbf{\text{respiratorios”.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(C\cap D)={\displaystyle \frac{100}{600}}\cdot \mathrm{0,6}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,1}$