Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 4.

Desde el inicio de 1980, la capacidad (cantidad de gas que puede extraerse) de una explotación gasística, expresada en miles de metros cúbicos, viene dada por la función $f(x)=36600+1500x-15x^2$ donde la variable $x$ representa el tiempo en años transcurridos desde el inicio de 1980.

a) Calcula la capacidad de la explotación al inicio de 1980. (2 puntos)
b) Calcula cuánto tiempo ha de pasar desde el inicio de 1980 para que la capacidad alcance su valor máximo, y cuál es dicho valor máximo (en miles de metros cúbicos). (4 puntos)
c) Si el beneficio en euros por metro cúbico de gas disminuye con los años según la función $g(x)=3-\frac{3x^2}{12100}$, calcula cuánto tiempo debe pasar para que la explotación deje de ser rentable y cuál será la capacidad (en miles de metros cúbicos) de la explotación en ese momento. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1980.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden calcular $f(0)$.

$f(0)=36600+1500\cdot 0-15\cdot 0^2=36600$.

La capacidad es de 36.600.000 m³.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1980}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{alcance}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{bicos).}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero.

$f(x)=36600+1500x-15x^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=1500-30x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1500-30x=0\Rightarrow x=\frac{1500}{30}=50$ es un punto crítico de la función.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-30\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(50)=-30<0\Rightarrow x=50$ es un máximo relativo.

Han de pasar 50 años para alcanzar la capacidad máxima.

Como $f(50)=36600+1500\cdot 50-15\cdot {50}^2=74100$, tenemos que la capacidad máxima será de 74.100.000 m³ de gas.


Consideramos que la explotación deja de ser rentable cuando los beneficios son iguales o menores que 0. Averiguamos en qué momento los beneficios son nulos.

$g(x)=3-\frac{3x^2}{12100}$.

$g(x)=0\Rightarrow 3-\frac{3x^2}{12100}=0\Rightarrow \frac{3x^2}{12100}=3$ $\Rightarrow x^2=\frac{36300}{3}=12100\Rightarrow x=\sqrt{12100}=\pm 110$. (No tenemos en cuenta el valor negativo de $x$).

El beneficio es 0 para $x=110$ años. Vemos cómo son los beneficios antes y después de los 110 años.

En $(0,110)$ tomamos $x=10$ y el beneficio es $g(10)=3-\frac{3\cdot {10}^2}{12100}=\mathrm{2,975}>0$. Es rentable.

En $(110,+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=120$ y el beneficio es $g(120)=3-\frac{3\cdot {120}^2}{12100}=-\mathrm{0,57}<0$. No es rentable.

La explotación deja de ser rentable a los 110 años y su capacidad en dicho momento es $f(110)=36600+1500\cdot 110-15\cdot {110}^2=20100$ miles de metros cúbicos de gas.