Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 3. Se considera la función $f(x)=\frac{x^2+x-2}{(x+1{)}^2}$. Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dominio: $(x+1{)}^2=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}$-{-1}

Puntos de corte con los ejes

$\text{Eje }X:f(x)=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x=-2,x=1\Rightarrow PC(-2,0);PC(1,0)$

$\text{Eje }Y:x=0\Rightarrow f(0)=\frac{-2}{1}=-2\Rightarrow PC(0,-2)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntotas

$\text{Vertical: }{\lim }_{x\to -1}\frac{x^2+x-2}{(x+1{)}^2}=\left[\frac{-2}{0^{+}}\right]=-\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

$\text{Horizontal: }{\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{x^2+x-2}{(x+1{)}^2}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{x^2}{x^2}=1\Rightarrow y=1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Monotonía y extremos relativos: (Calculamos la derivada y la igualamos a 0):

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x+1)(x+1{)}^2-(x^2+x-2)\cdot 2(x+1)}{(x+1{)}^4}=\frac{x+5}{(x+1{)}^3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x+5=0\Rightarrow x=-5$

La función sigue el esquema siguiente:









$\text{Creciente: }(-\mathrm{\infty },-5)\cup (-1,+\mathrm{\infty })$

$\text{Decreciente: }(-5,-1)$





$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{M}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }x=-5:\text{M}\acute{\text{a}}\text{x}(-5,f(-5))=(-5,\frac{9}{8})$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Gráfica(representación con asíntota vertical en $x=-1$, asíntota horizontal $y=1$ y máximo relativo en $x=-5$).

\ $x$	$f(x)=\frac{x^2+x-2}{(x+1{)}^2}$
-6	1.12
-5	1.125
-2	0
0	-2
1	0
2	0.44