Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 3.

Dada la función $f(x)=\frac{x^2-36}{x^2-2x-8}$, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una función cociente de dos polinomios; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2-2x-8=0\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4(-8)}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}\Rightarrow x=\frac{2-6}{2}=-2,x=\frac{2+6}{2}=4$

Dominio $f(x)=\mathbb{R}$-{-2,4}.

Puntos de corte con los ejes coordenados.
Si $x=0$ entonces $f(0)={\displaystyle \frac{0^2-36}{0^2-0-8}}={\displaystyle \frac{-36}{-8}}=\mathrm{4,5}$.$\Rightarrow$ El punto de corte es $(0,\mathrm{4,5})$.

Si $y=0$ entonces$\Rightarrow$ $0={\displaystyle \frac{x^2-36}{x^2-2x-8}}\Rightarrow x^2-36=0\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm 6$. $\Rightarrow$Los puntos de corte son $(-6,0)$ y $(6,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asintotas verticales:
$x=2$.
${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}{\displaystyle \frac{x^2-36}{x^2-2x-8}}={\displaystyle \frac{(-2{)}^2-36}{(-2{)}^2-2(-2)-8}}={\displaystyle \frac{-32}{0}}=\mathrm{\infty }$
La recta $x=-2$ es asíntota vertical.

$x=4$
${\lim }_{x\to 4}f(x)={\lim }_{x\to 4}{\displaystyle \frac{x^2-36}{x^2-2x-8}}={\displaystyle \frac{4^2-36}{4^2-2\cdot 4-8}}={\displaystyle \frac{-20}{0}}=\mathrm{\infty }$
La recta $x=4$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal $y=b$.
$b={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-36}{x^2-2x-8}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{36}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{8}{x^2}}}}=\frac{1}{1}=1$
La asíntota horizontal es $y=1$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.
$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-2x-8)-(2x-2)(x^2-36)}{(x^2-2x-8{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-4x^2-16x-2x^3+72x-2x^2+72}{(x^2-2x-8{)}^2}}$
$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-2x^2+56x-72}{(x^2-2x-8{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x^2+56x-72=0\Rightarrow x^2-28x+36=0$

$x={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{(-28{)}^2-4\cdot 36}}{2}}={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{784-144}}{2}}={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{640}}{2}}={\displaystyle \frac{28\pm 8\sqrt{10}}{2}}=14\pm 4\sqrt{10}$

Los puntos críticos son $x=14-4\sqrt{10}$ y $x=14+4\sqrt{10}$.

Veamos cómo evoluciona el signo de la derivada antes, entre y después de estos puntos críticos. Además, los puntos $x=-2$ y $x=4$ no pertenecen al dominio.

En $(-\mathrm{\infty },-2)$ tomamos $x=-3$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(-3)={\displaystyle \frac{-258}{(-3^2-2(-3)-8{)}^2}}<0$.
La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)$.

En $(-2,14-4\sqrt{10})$ tomamos $x=10$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{-72}{(100-20-8{)}^2}}<0$.
La función decrece en $(-2,14-4\sqrt{10})$.

En $(14-4\sqrt{10},4)$ tomamos $x=3$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{78}{(9-6-8{)}^2}}>0$.
La función crece en $(14-4\sqrt{10},4)$.

En $(4,14+4\sqrt{10})$ tomamos $x=10$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{288}{(100-20-8{)}^2}}>0$.
La función crece en $(4,14+4\sqrt{10})$.

En $(14+4\sqrt{10},+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=100$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(100)={\displaystyle \frac{-14472}{(10000-200-8{)}^2}}<0$.
La función decrece en $(14+4\sqrt{10},+\mathrm{\infty })$.
La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,14-4\sqrt{10})\cup (14+4\sqrt{10},+\mathrm{\infty })$ y crece en $(14-4\sqrt{10},4)\cup (4,14+4\sqrt{10})$.
Sigue el esquema siguiente:










$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el análisis anterior la función presenta un mínimo relativo en $x=14-4\sqrt{10}$, pues en este punto cambia de decrecer a crecer,
y un máximo relativo en $x=14+4\sqrt{10}$, pues en este punto la función cambia de crecer a decrecer.

Como: