Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 2.

Dada la función $f(x)=\frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}$, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El dominio son todos los reales menos los que anulan el denominador.

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

El dominio es $\mathbb{R}--1,1$.

Puntos de corte

$x=0\Rightarrow f(0)=\frac{5}{-1}=-5$. El punto de corte con el eje OY es $P(0,-5)$.

$y=0\Rightarrow \frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=0\Rightarrow 2x^2-3x+5=0$

$x=\frac{3\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 5}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{-31}}{4}\Rightarrow Noexistesoluci\acute{o}nrealynohaypuntodecorteconelejeOX\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntota vertical $x=a$.

Comprobamos los valores excluidos del dominio.

¿$x=1$ es asíntota vertical?

${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\frac{4}{0}=\mathrm{\infty }$

Luego $x=1$ es asíntota vertical.

¿$x=-1$ es asíntota vertical?

${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}\frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\frac{10}{0}=\mathrm{\infty }$

Luego $x=-1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal $y=b$.

$b={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{2x^2}{x^2}=2$

$y=2$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Calculamos la derivada y buscamos los puntos críticos.

$f(x)=\frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4x-3)(x^2-1)-2x(2x^2-3x+5)}{(x^2-1{)}^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x^3-4x-3x^2+3-4x^3+6x^2-10x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{3x^2-14x+3}{(x^2-1{)}^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \frac{3x^2-14x+3}{(x^2-1{)}^2}=0\Rightarrow 3x^2-14x+3=0\Rightarrow x=\frac{14\pm \sqrt{(-14{)}^2-36}}{6}=\frac{14\pm \sqrt{160}}{6}$

Comprobamos el signo de la derivada antes de ${\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}}=\mathrm{0,225}$, entre ${\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}}$ y ${\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}}=\mathrm{4,44}$ y después de ${\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}}$. No tenemos en cuenta los valores $-1$ y $1$, pues no están en el dominio pero no afectan al signo de la derivada.

* En $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}})$ tomamos $x=-2$, la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=\frac{3(-2{)}^2-14(-2)+3}{{((-2{)}^2-1)}^2}=\frac{43}{9}>0$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}})$.

* En $({\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}},{\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}})$ tomamos $x=2$, la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{3(2{)}^2-14(2)+3}{{((2{)}^2-1)}^2}=-\frac{13}{9}<0$

La función decrece en $({\displaystyle \frac{14-\sqrt{160}}{6}},{\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}})$.

* En $({\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}},+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=6$, la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(6)=\frac{3\cdot 6^2-14\cdot 6+3}{(6^2-1{)}^2}=\frac{27}{{35}^2}>0$

La función crece en $({\displaystyle \frac{14+\sqrt{160}}{6}},+\mathrm{\infty })$.

La funcion sigue el siguiente esquema:










$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El punto mínimo local es $(\frac{14+\sqrt{160}}{6},\mathrm{1,662})$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Tenemos las asíntotas, el dominio, cómo crece y decrece y el máximo y mínimo relativo.

Hacemos una tabla de valores y dibujamos su gráfica.




Tabla de valores:

$x$	$y={\displaystyle \frac{2x^2-3x+5}{x^2-1}}$
-3	4
-2	6,3
0,5	-5,3
0	-5
0,225	-4,66 (máximo)
2	2,3
4,44	1,662 (mínimo)
5	1,666

Con esta información se puede representar la gráfica de la función.