Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 5.

Una empresa farmacéutica lanza al mercado un nuevo fármaco que se distribuye en cajas de seis unidades. La relación entre el precio de cada caja y el beneficio mensual obtenido en euros viene dada por la función $B(x)=-x^2+16x-55$, donde $x$ es el precio de venta de una caja. Se pide:

a) ¿Qué beneficio obtiene cuando vende cada caja a 6 euros? (2 puntos)
b) ¿Entre qué valores debe fijar el precio de venta de cada caja para obtener beneficios? (2 puntos)
c) Calcula a qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo? (2+1 puntos)
d) ¿Entre qué valores el beneficio crece y entre qué valores el beneficio decrece? (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{euros?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden el valor de la función en $x=6$.

$B(6)=-6^2+16\cdot 6-55=5$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{fijar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden averiguar cuándo la función es positiva. Para ello averiguo primero cuándo es cero.

$B(x)=0\Rightarrow -x^2+16x-55=0$

$x={\displaystyle \frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4(-1)(-55)}}{-2}}={\displaystyle \frac{-16\pm 6}{-2}}$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{l}x=\frac{-16+6}{-2}=5\\ x=\frac{-16-6}{-2}=11\end{array}$

Como la función beneficio es continua, vemos si es positiva antes de 5, entre 5 y 11 y después de 11, probando un valor en cada intervalo o semirrecta.

En $(0,5)$ tomamos $x=1$ y el beneficio es $B(1)=-40<0$. El beneficio es negativo en $(0,5)$.

En $(5,11)$ tomamos $x=6$ y el beneficio es$B(6)=5>0$. El beneficio es positivo en $(5,11)$.

En $(11,+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=12$ y el beneficio es $B(12)=-7<0$. El beneficio es negativo a partir de $11$.

Para que el beneficio sea positivo se debe fijar un precio mayor que 5 € y menor que 11 € por caja.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(2+1}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es el vértice de la parábola; lo hallamos con la derivada. $B(x)=-x^2+16x-55\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+16$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+16=0\Rightarrow x=8$

Como $B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-2<0$,

El beneficio es máximo con un precio por caja de 8 €.

Este beneficio máximo tiene un valor de $B(8)=-8^2+128-55=9$ euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{crece}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{decrece?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La derivada vale 0 en $x=8$, vemos cuándo crece y cuándo decrece.

En $(0,8)$ tomamos $x=6$ y la derivada vale $B^{\mathrm{\prime }}(6)=-12+16=4>0$. La función beneficio crece en $(0,8)$.

En $(8,+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=10$ y la derivada vale $B^{\mathrm{\prime }}(10)=-20+16=-4<0$. La función beneficio decrece en $(8,+\mathrm{\infty })$.

El beneficio crece con un precio de 0 a 8 € y decrece a partir de 8 €.