Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 3. Análisis.
Los costes de una empresa, en cientos de miles de euros, vienen dados por la función:
$C(t)=t^3-{\displaystyle \frac{21}{2}}{t}^2+30t-12,t\text{ es el tiempo en a}\tilde{\text{n}}\text{os y }1\le t\le 6$

a) Calcule los costes máximos alcanzados. ¿En qué momento se producen?
b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de los costes. Determine el coste mínimo y en qué momento se alcanza.
c) ¿Cuáles son los costes al inicio y al final del periodo en estudio?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{alcanzados.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen?}}$

Derivamos la función de costes y buscamos sus puntos críticos.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-21t+30=3(t^2-7t+10)=3(t-2)(t-5)$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=2\text{ y }t=5$

El máximo absoluto en el intervalo cerrado $[1,6]$ se busca entre esos puntos y los extremos del intervalo.

$C(1)=1-{\displaystyle \frac{21}{2}}+30-12=\mathrm{8,5}$

$C(2)=8-42+60-12=14$

$C(5)=125-{\displaystyle \frac{525}{2}}+150-12=\mathrm{0,5}$

$C(6)=216-378+180-12=6$

Los costes máximos alcanzados son de 14 cientos de miles de euros, es decir, 1.400.000 euros, y se producen a los 2 años.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza.}}$

Estudiamos el signo de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}{C}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{1,5})=3(-\mathrm{0,5})(-\mathrm{3,5})=\mathrm{5,25}>0\\ C^{\mathrm{\prime }}(3)=3(1)(-2)=-6<0\\ C^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{5,5})=3(\mathrm{3,5})(\mathrm{0,5})=\mathrm{5,25}>0\end{array}$



Los costes crecen en $(1,2)$, decrecen en $(2,5)$ y vuelven a crecer en $(5,6)$.

Comparando los valores calculados en el apartado anterior, el menor de todos es $C(5)=\mathrm{0,5}$.

El coste mínimo es de 0,5 cientos de miles de euros, es decir, 50.000 euros, y se alcanza a los 5 años.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{estudio?}}$

Basta con evaluar la función en los extremos del intervalo, cálculo ya realizado antes.

$C(1)=\mathrm{8,5}C(6)=6$

Al inicio del periodo los costes eran de 850.000 euros y al final de 600.000 euros.