Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 4. Análisis.
Los beneficios obtenidos durante el primer año (en cientos de euros) por un establecimiento dedicado al reparto de comida a domicilio vienen dados por la función
$B(t)=t(t-a{)}^2,0\le t\le 12$
en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde la apertura del establecimiento.

a) Calcule el valor del parámetro $a$ teniendo en cuenta que $B(t)$ presenta un punto de inflexión en $t=6$.
b) Para $a=9$, ¿cuál ha sido el mayor beneficio obtenido? ¿En qué momento o momentos se ha producido? Justifique las respuestas.
c) Para $a=9$, represente la gráfica de la función $B(t)$ teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

En un punto de inflexión se anula la segunda derivada, así que desarrollamos la función y derivamos dos veces.

$B(t)=t(t-a{)}^2=t^3-2a{t}^2+a^{2}t$

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-4at+a^2$

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-4a$

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)=0\Rightarrow 36-4a=0\Rightarrow a=9$

El valor del parámetro es $a=9$.



Con $a=9$ la función es $B(t)=t(t-9{)}^2$. Buscamos sus puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-36t+81=3(t^2-12t+27)=3(t-3)(t-9)$

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=3\text{ y }t=9$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo de $[0,12]$.

$\{\begin{array}{l}{B}^{\mathrm{\prime }}(1)=3(-2)(-8)=48>0\\ B^{\mathrm{\prime }}(6)=3(3)(-3)=-27<0\\ B^{\mathrm{\prime }}(10)=3(7)(1)=21>0\end{array}$



Hay un máximo relativo en $t=3$ y un mínimo relativo en $t=9$. Para el máximo absoluto comparamos ese máximo relativo con los extremos del intervalo.

$B(0)=0$

$B(3)=3(3-9{)}^2=3\cdot 36=108$

$B(12)=12(12-9{)}^2=12\cdot 9=108$

El mayor beneficio obtenido fue de 108 cientos de euros, es decir, 10.800 euros, y se produjo en dos momentos: a los 3 meses de la apertura y a los 12 meses.



Además de los extremos ya calculados, la función corta al eje de abscisas en $t=0$ y en $t=9$, y tiene su punto de inflexión en $t=6$, donde $B(6)=6\cdot 9=54$.



La gráfica sube desde el origen hasta el máximo $(3,108)$, baja hasta tocar el eje en el mínimo $(9,0)$ y vuelve a subir hasta $(12,108)$.