Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

3. Según una compañía telefónica, el coste de la transferencia de datos se descompone en dos conceptos: un coste fijo de 25 céntimos de euro por transferencia realizada más un coste variable en función de los gigabytes transferidos. El coste variable asociado a los 2 primeros gigabytes en gratis, pero a partir de 2 gigabytes, pasa a tarificar los gigabytes restantes a 10 céntimos de euro por gigabyte.
a) [0,75 puntos] Si $f(x)$ representa el coste total en céntimos de euro de una transferencia en función de la cantidad de gigabytes transferidos en la misma $(x)$, obtén la expresión de dicha función $f$ para cualquier valor positivo x. ¿Es el coste una función continua de la cantidad transferida?
b) [1,75 puntos] Estudia y representa gráficamente la función $f$ en el intervalo $(0,\mathrm{\infty })$. Si el coste total de una transferencia ha sido de 2,25 euros, ¿Cuántos gigabytes se han transferido? ¿Cuál es el coste mínimo de una transferencia cualquiera? ¿Y el coste máximo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{transferencia}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gigabytes}}\mathbf{\text{transferidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{(x),}}\mathbf{\text{obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{x.}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{transferida?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El coste tiene una parte fija de 25 céntimos que se paga siempre. Los dos primeros gigabytes no añaden nada; a partir de ahí, cada gigabyte por encima de 2 cuesta 10 céntimos, y los que se cobran son $x-2$. Por tanto:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}25,& 0<x\le 2\\ 25+10(x-2)=10x+5,& x>2\end{array}$

El único punto donde puede fallar la continuidad es $x=2$, porque en cada trozo la función es constante o afín, y esas son continuas siempre. Se comparan los dos límites laterales:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=25{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=10\cdot 2+5=25f(2)=25$

Los tres valores coinciden, así que $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}$: el coste es una función continua de la cantidad transferida. Era de esperar, porque la tarifa no cobra ningún «salto» al pasar de los 2 GB, solo empieza a contar a partir de ahí.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{(0,}}\mathbf{\text{infinito).}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{transferencia}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2,25}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{gigabytes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{transferido?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{transferencia}}\mathbf{\text{cualquiera?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hasta los 2 GB la función es constante e igual a 25. A partir de ahí es una recta de pendiente 10, es decir, creciente: cada gigabyte de más encarece la transferencia en 10 céntimos. No hay máximos ni mínimos relativos, ni asíntotas, y la gráfica es una línea quebrada:



Los 2,25 euros son 225 céntimos, y como 225 es mayor que 25 hay que usar el segundo trozo:

$10x+5=225⟹10x=220⟹x=22$

Se han transferido $\mathbf{\text{22}}\mathbf{\text{GB}}$.

El coste mínimo es $\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}$ (0,25 euros), y se paga en cualquier transferencia de 2 GB o menos: es el mínimo absoluto de la función, alcanzado en todo el primer tramo.

Coste máximo no hay: la recta $10x+5$ crece sin tope y

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$

así que la función no está acotada superiormente. Transfiriendo suficientes gigabytes se puede llegar a cualquier importe.