Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 4. Dada la función $f(x)=-x^2+4x$, se pide:
a) [0.5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(1)=2$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva $f$ y el eje $X$ entre $x=-1$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (-x^2+4x)dx=-\frac{x^3}{3}+2x^2+k$

y se impone la condición:

$F(1)=-\frac{1}{3}+2+k=\frac{5}{3}+k=2⟹k=\frac{1}{3}$

La primitiva pedida es

$F(x)=-\frac{x^3}{3}+2x^2+\frac{1}{3}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{3.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}\mathbb{R}$; es una parábola con las ramas hacia abajo, porque el coeficiente de $x^2$ es negativo.

$\mathbf{\text{Cortes:}}-x^2+4x=x(4-x)=0⟹x=0$ y $x=4$; con el eje Y, en el propio origen.

$\mathbf{\text{V}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+4=0⟹x=2f(2)=-4+8=4$

La función crece hasta $x=2$ y decrece después; el punto $(2,4)$ es el máximo absoluto. Es negativa fuera del intervalo $[0,4]$ y positiva dentro.



En el intervalo pedido la curva cambia de signo en $x=0$, así que hay que partirlo en dos. Con $G(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2$:

$G(-1)=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}G(0)=0G(3)=-9+18=9$

${\int }_{-1}^{0}f=0-\frac{7}{3}=-\frac{7}{3}{\int }_0^{3}f=9-0=9$

El primer trozo queda por debajo del eje, así que se toma su valor absoluto:

$A=\frac{7}{3}+9=\frac{7+27}{3}=\frac{34}{3}\approx \mathrm{11,333}{\text{u}}^2$

Si se hubiera integrado de un tirón entre $-1$ y 3 habría salido $\frac{20}{3}\approx \mathrm{6,67}$, que no es el área sino la diferencia de los dos recintos.