Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 4. Dada la función $f(x)=-x^2-2x+3,$ se pide:
a) [0.5 puntos] Encontrar la primitiva de $f$ verificando que $F(1)=1$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva $f$ y el eje $OX$ entre $x=-2$ y $x=2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (-x^2-2x+3)dx=-\frac{x^3}{3}-x^2+3x+k$

y se impone la condición:

$F(1)=-\frac{1}{3}-1+3+k=\frac{5}{3}+k=1⟹k=-\frac{2}{3}$

La primitiva pedida es

$F(x)=-\frac{x^3}{3}-x^2+3x-\frac{2}{3}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-2}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}\mathbb{R}$; es una parábola con las ramas hacia abajo.

$\mathbf{\text{Cortes:}}-x^2-2x+3=0⟹x^2+2x-3=0⟹x={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2}}$, es decir, $x=-3$ y $x=1$; con el eje Y, $f(0)=3$.

$\mathbf{\text{V}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-2=0⟹x=-1f(-1)=-1+2+3=4$

La función crece hasta $x=-1$ y decrece después; el punto $(-1,4)$ es el máximo absoluto. Es positiva entre $-3$ y 1, y negativa fuera.



En el intervalo pedido la curva cambia de signo en $x=1$ (la otra raíz, $-3$, queda fuera), así que hay dos trozos. Con $G(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2+3x$:

$G(-2)=\frac{8}{3}-4-6=-\frac{22}{3}G(1)=-\frac{1}{3}-1+3=\frac{5}{3}G(2)=-\frac{8}{3}-4+6=-\frac{2}{3}$

${\int }_{-2}^{1}f=\frac{5}{3}+\frac{22}{3}=\frac{27}{3}=9{\int }_1^{2}f=-\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$

El segundo trozo queda por debajo del eje, de modo que el área es

$A=9+\frac{7}{3}=\frac{34}{3}\approx \mathrm{11,333}{\text{u}}^2$

Si se hubiese integrado de un tirón entre $-2$ y 2 habría salido $\frac{20}{3}\approx \mathrm{6,67}$, que no es el área sino la diferencia de los dos recintos.