Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2}{9-x^2}}$, calcule:

a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes. (0,5 puntos)

b) Asíntotas verticales y horizontales. (0,5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Es una función racional: quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$9-x^2=0\Rightarrow x=\pm 3$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-3,3\}$

Para el corte con el eje $OX$ se anula el numerador, y el corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$; ambos dan el mismo punto.

$2x^2=0\Rightarrow x=0;f(0)={\displaystyle \frac{0}{9}}=0$

El único punto de corte con los ejes es el origen $(0,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Las candidatas a asíntota vertical son los puntos que no pertenecen al dominio, donde el numerador vale $18$.

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{18}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{18}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{2}{-1}}=-2$

Las rectas $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales y la recta $y=-2$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(1\text{ punto})$

Se deriva por la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x(9-x^2)+4x^3}{(9-x^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{36x}{(9-x^2{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el de $x$; se anula solo en $x=0$. Se hace un estudio de signos añadiendo los puntos que no son del dominio.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,0)$ y crece en $(0,3)\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El único punto crítico es $x=0$, donde la derivada pasa de negativa a positiva.

$f(0)=0$

La función presenta un mínimo local en el origen $(0,0)$ y no tiene máximos locales.