Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$, calcule:
a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)
b) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. (0,5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)
d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Es una función racional: quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

El corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Una fracción solo se anula si lo hace su numerador, y aquí vale $1$: la gráfica corta a los ejes únicamente en $(0,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hay.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Las candidatas a asíntota vertical son los puntos que no pertenecen al dominio.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=-\mathrm{\infty }$

El grado del denominador supera al del numerador, así que el límite en el infinito es cero.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}=0$

Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales y la recta $y=0$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(1\text{ punto})$

Se escribe la función como una potencia y se deriva con la regla de la cadena.

$f(x)=(x^2-4{)}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x^2-4{)}^{-2}\cdot 2x={\displaystyle \frac{-2x}{(x^2-4{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el contrario al de $x$; se anula solo en $x=0$. Se hace un estudio de signos añadiendo los puntos que no son del dominio.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$ y decrece en $(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El único punto crítico del dominio es $x=0$, donde la derivada pasa de positiva a negativa.

$f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

La función presenta un máximo local en $(0,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$ y no tiene mínimos locales.